,/|08* ÉTATS PERMANENTS : PROBLÈME DES TEMPÉRATURES STATIONNAIRES 
infinité de rectangles curvilignes : circonstance de nature, malgré la 
forme exclusivement circulaire ou droite de leurs côtés, à suggérer 
cette idée, que le même problème pourrait bien encore être abor 
dable dans d’autres cas de contours courbes. Et, en effet, pour nous 
borner d'abord aux rectangles curvilignes, Lamé a reconnu qu’on y 
composait l’expression générale de cp indépendamment de leur forme, 
ou par le même procédé analytique que lorsqu’ils sont rectilignes, à 
la seule condition d’avoir su d’abord obtenir la fonction cp dans le cas 
simple où deux côtés opposés sont maintenus à deux températures 
constantes, les deux autres côtés étant imperméables, c’est-à-dire 
• , d r -D 
impliquant, en tous leurs points, une dérivée --- nulle suivant leur 
normale. 
Pour le démontrer, appelons a, dans ce cas simple, l’expression 
particulière de o, fonction connue de x et de y. Les courbes a = const., 
vérifiant ainsi l’équation 
, a d '- a d~ x 
(34) A,a = o ou ——- -|—-— = o, 
ax- a y 1 
et qu’on appelle pour cela courbes isothermes (c’est-à-dire suscepti 
bles, dans certains cas, de conserver, chacune, tous leurs points à une 
température uniforme a), auront évidemment, en (x, y), pour coeffi- 
i • ri .i da , dot. 
cient angulaire y , le rapport de — -j- a ; et seront coupees partout 
a angle droit par celles dont le coefficient angulaire analogue éga- 
lerait le rapport inverse changé de signe. En d’autres termes, elles 
auront pour trajectoires orthogonales les courbes dont l’équation 
différentielle sera —j—dv — -f- dx — o. Or le premier membre de 
dx " dy 1 
celle-ci est la différentielle exacte d’une certaine fonction ¡3 de x et y; 
car il vérifie, en vertu de (34), la condition d’intégrabilité, 
Donc de simples quadratures feront connaître l’équation ¡3 = const. 
des trajectoires orthogonales aux courbes isothermes données a—const.; 
et leur paramètre 3 vérifiera les deux relations 
d'fi dx d r i dx 
dx dy ’ dy dx 
Or celles-ci, ajoutées après avoir été diflerentiées respectivement en x 
et y, donnent 
(36) 
A 2 ¡3 — o ;