INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, HOMOGÈNES EN — ET A 453*
dt 2 ‘ 4
élevée par rapport au temps que par rapport aux coordonnées, con
trairement aux précédentes (3g).
Il nous reste donc à étudier, pour des cas où les dimensions suivant
les x,y, - soient infinies, ces équations (3g) et (4o). Afin de les sim
plifier le plus possible, nous y prendrons a — i ou g — i, grâce à un
choix de l’unité soit de longueur, soit plutôt de temps, propre à
donner t au lieu de a-1, dans la première (3g), au lieu de at, dans la
deuxième (3g), et au lieu de t\'g, dans la première (/Jo).
162*. — De l’intégration de ces équations par les intégrales définies de
la XXXIir Leçon, quand ce sont les différentiations relatives aux co
ordonnées qui vont ainsi par couples; et, d’abord, formation de solu
tions particulières, contenant tout autant de fonctions arbitraires.
Occupons-nous d’abord des équations (3g), en considérant leur
type général, savoir, une équation linéaire et à coefficients constants,
(40 Ao
d n cp
~dV~ l
d n ~ l . AoO d n ~ 2 .A 2 A,cs
i ‘ +Aa
dt n ~‘ > -
A„ A 2 A 2 A 2 ... cp = o,
dans tous les termes de laquelle l'inconnue cp ne soit affectée que des
deux symboles A 2 , et le soit un même nombre total n de fois.
Bref, la fonction cp n’y est censée soumise qu’à deux opérations dif
férentielles, celles qui consistent à prendre ou la dérivée relative au
temps, ou le paramètre A 2 , qui constitue (t. I, p. 72*) la dérivée par
excellence relative à l’espace; et, de plus, l’équation est, dans tous
ses termes, homogène, d’un même degré n, relativement ci ces deux
opérations ou à leurs symboles -p-> A 2 .
A défaut des potentiels, qui ne paraissent pas aptes à fournir pour
ces équations des solutions particulières affectées d’une fonction ar
bitraire, recourons à l’autre type général d’intégrales étudié plus haut
(p. 183*), c’est-à-dire au type cp = jf /(yy) $ oh P c ^ si g ne
(p. 187*)le rapport, —-—, du nombre 2 à son excédent sur celui, m,
CLP /'%
des coordonnées x, y, .... Comme les fonctions/, ^ de — ■> sont
arbitraires, dans de larges limites, et peuvent ainsi contenir de telle
manière qu’on voudra les variables indépendantes de a et r, c’est-à-dire,
OLP ,
ici, le temps l, introduisons ± t dans l’une d elles, à côte de — ou de
