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INTÉGRÂT. DES ÉQUAT. AUX DÉRIV. PART. DES ONDES PAR ÉMERSION 
Pour simplifier celte expression, adoptons, au lieu de a, comme 
. , CO S IJL 
variable de la première intégration, la quantité 1 , que nous ap- 
pellerons r, et qui décroît de l’infini à zéro quand a grandit de 
j ou a — 
ch. — —■ ° °--'-'d/‘, l’intégrale en 0 et a, dans (n5), prend la forme 
On voit que, si r, sur le plan des xy, désigne la droite de jonction 
du point considéré (x,y) aux divers autres points, dont j’appellerai £, 
y) les coordonnées, et si 6 désigne l’angle de cette droite r avec l’axe 
des x, l’intégrale double 
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où t et p. seraient deux constantes, deviendra précisément ( 116 ) parla 
substitution, aux coordonnées rectangles k, tq, de coordonnées polaires 
/% 0 comptées à partir du point {x, y) comme jiôle. Donc cette inté 
grale double ( 117) peut remplacer (116) dans ( 115) ; et, en appelant dcj 
la dépression élémentaire ou Vimpulsion élémentaire F (c, r, ) c/ç cir, 
produite initialement en chaque endroit (£,y]) de la surface, la for 
mule (t 15) de h sera enfin, sous une forme aussi réduite que possible, 
où le premier signe f de sommation s’étend à toutes les dépressions 
ou impulsions élémentaires, dq, produites initialement (c’est-à-dire 
pour t=o) sur la surface libre, aux diverses distances r du point 
quelconque {x, y) de celle-ci. 
Ainsi, l’élément naturel de la solution cherchée, expression de h 
pour le cas d’une seule dépression ou impulsion initiale dq localisée 
à l’origine des distances r, est 
si l’on pose y = 
cos [i.. 
Développons-la suivant les puissances impaires de ¿ 2 , et, dans ce