SOLUTIONS SIMPLES NATURELLES, POUR LES MILIEUX INDÉFINIS. 5i^* 
création du phénomène; mais, supposées ici variables de oo à oc, 
elles peuvent sortir et, d’ordinaire, sortent en effet du champ géné 
ralement restreint de cette région ou de cette durée. C’est *donc 
des variables non principales, en nombre égal au degré de multi 
plicité des intégrales fournissant la solution, que dépendent les fonc 
tions arbitraires par lesquelles s’exprime, pour la valeur zéro des 
variables principales s, t ou /• (quand il y en a de telles), l’état 
initial, c est-a-dne relatif a 1 instant ou au beu de départ, état que 
l'on peut regarder comme la cause et la source du phénomène. Seu 
lement, il nous a fallu leur donner, dans les fonctions arbitraires 
dont il s'agit, des désignations spéciales, telles que tj, Ç, t, à la 
place de x, y, z, t, pour éviter de confondre les circonstances pri 
mitives, censées connues a priori et susceptibles d’être choisies à 
volonté, avec les circonstances dérivées ou consécutives, qui consti 
tuent les faits cherchés à l’expression desquels on consacre les lettres 
x, y, z, t. Et nous avons reconnu que l’on pouvait prendre justement 
comme variables d'intégration les quantités £, tj. ..., ou t; après quoi 
chaque terme infiniment petit de la solution était le produit d’une va 
leur F(ç, r ( , . .. ), ou F(t), de l'une des fonctions arbitraires, par le 
champ élémentaire d\ dr t ..., ou dz, où cette valeur se réalise, et par une 
certaine fonction, déterminée pour chaque problème, des variables 
principales, z, t, ou r, et des différences x — £, y— r M ..., ou t — t. La 
solution se compose ainsi d’autant de ces solutions élémentaires, qu’il 
v a de fonctions arbitraires, et que la région totale d’émanation 
ff...d\dr, . . ., ou la durée totale de création f dz, comprend d’élé 
ments où les fonctions arbitraires diffèrent de zéro ( 1 ). 
(’) Exemple d’un problème d’état non permanent où il n’y a pas de variable 
principale : températures d’un milieu sillonné par une source calorifique. 
Certains problèmes d’état non permanent où, comme dans la plupart de ceux 
d’état permanent, aucune variable principale ne figure, offrent ce caractère, 
qu’une seule des variables indépendantes s’y trouve non principale au sens où 
nous l’entendons ici, toutes pouvant, il est vrai, se suppléer dans ce rôle, quoique 
l’une d’elles, le temps t par exemple, le remplisse plus naturellement que les 
autres, qui sont alors les coordonnées x,y, .... Le seul exemple de ce cas ren 
contré plus haut, et que même nous avons seulement indiqué (n° 46b*, p. 478*), 
est le problème des températures dans un milieu indéfini à m dimensions, sillonné 
par une source calorifique, mobile suivant une trajectoire donnée. Alors, en effet, 
si 1-, t,, ..., fonctions connues de z, désignent les coordonnées qu avait cette source 
à l’époque z, alors que son débit par unité de temps, également connu, était F ( x), 
la solution se forme, comme on a dit, en superposant des solutions élémentaires 
successives (74) [p. 47^* 1? après y avoir remplacé t par t — x et dq par F (z)dz.