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* NOTE SUR DES QUESTIONS D’ÉTAT NON PERMAN. NE COMPORTANT PAS
C’est naturellement chacun de ces éléments de l’intégrale générale
qu’il conviendra d’appeler unq solution simple de la question. On voit
On obtient ainsi une intégrale de la forme (78), savoir
(ci)
mais où l’origine des rayons vecteurs r, au lieu d’être fixe, a maintenant ses coor
données t\,... fonctions de t. Dans la fraction négative affectant l’exponen
tielle, le rayon r, exprimé par
= vA x — £ iy — ^ y-+-• •
(b)
r
ne peut donc plus se substituer à x, y,... comme variable indépendante et cesse
par conséquent d’être variable principale, sans qu’aucune coordonnée le de
vienne, la fonction arbitraire F(t) ne se rapportant à une valeur initiale constante
d’aucune. D’autre part, le temps t, qui joue le rôle de variable indépendante
non principale, puisqu’il paraît seul (sous le nom de t) dans la fonction arbi
traire du problème, pourrait céder ce rôle à l’une quelconque des coordonnées
i\, ... de la source, qui lui sont liées. Donc la question n’admet aucune variable
principale et comporte une seule variable non principale, qui peut être l’une
quelconque des coordonnées ou le temps, mais est de préférence ce dernier.
Il faut s’assurer toutefois, par une vérification directe, si le second membre
de {a) constitue bien une intégrale simple déterminée, et satisfaisant aux condi
tions du problème. D’une part, ce second membre est déterminé et fini, malgré
le dénominateur t — v)” 1 nul à la limite supérieure t = t; car l’exponentielle
à exposant négatif qui figure au numérateur s’y annule aussi, et nous savons
qu’elle devient alors infiniment plus petite que tout dénominateur algébrique. Il
ne reste donc qu’à voir si la même intégrale définie exprime bien la tempéra
ture, primitivement égale à zéro, d’un milieu où se trouve créée à chaque instant t,
par unité de temps, la quantité de chaleur F(t / ), à l’endroit alors défini par les
coordonnées i-, r\,....
Pour le reconnaître, nous aurons à différentiel’ le second membre de (a); et il
sera utile d’introduire dans ce second membre une continuité parfaite, en rem
plaçant provisoirement, à la limite supérieure, l’époque actuelle t par une autre
un peu anterieure t — s, afin d’éviter la valeur critique 1 = t qui rend la fonction
sous le signe / infinie au point {x = %, y = t\, ...) présentement occupé par la
source. Nous appellerons, à l’occasion, T cette nouvelle limite supérieure t — e,
caractéristique d’une époque infiniment récente par rapport à Vépoque actuelle
t, et, R, la distance du point quelconque (x,y, ... ) de l’espace à la situation cor-
x’espondante ( Ç, ri,...) que vient de quitter la source, ou que celle-ci occupait pour
T = t — e. Ayant ainsi posé provisoirement, au lieu de (a),
nous obtiendrons évidemment le paramétre différentiel 9 par la différentiation
sous le signe /; et, vu l’équation A a œ = que vérifie la solution élémentaire