3a* INTÉGRALES ELLIPTIQUES E ET F DE LEGENDRE;
Or il y a lieu d’éliminer le dernier terme, où figure, sous Je signe/,
un numérateur x’* qui n’entre dans aucune des Jntegiales en les
quelles se dédoublent visiblement les proposées I, J définies par (36).
A cet effet, il suffit de remplacer, dans le dernier terme en question
de (89), le facteur x'* par la différence identiquement équivalente
U _ ( a 2p2_(_ a-x* + p 2 x-) ; et des réductions immédiates, avec trans-
r dx
position, dans le premier membre, d un terme — 2J — —
au second, donnent
ainsi obtenu
v/U
r* ri nr — —
= a*pa-+-a*ar»-H P*a? s ) U *dx,
relation où le deuxième membre n’est autre chose, d'après (36), que
a 2 1 -t- p 2 J. Il vient donc, pour l’équation cherchée, en rétablissant la
constante arbitraire dont on faisait abstraction,
(4o) a 2 I p 2 J
v/u
/ dx
const.
l/U
F
1- const.
a
Transportons-y la valeur (38) de J, et celle de I sera enfin, du
moins quant à sa partie variable,
TT TT
(40 I
«v U ' O* 2 —P 2 )
Les expressions, définies par (3y), de E et de F, se simplifient en
introduisant comme variable l’arc cp qui a pour tangente le rapport de
x à p. Posons, en effet,
(40
x — p tang cp; d’où
dx
üdo
P 2 -I- x" 1 =
P2
cos 2 cp
oc 2 -f- x-
8 2
B 2
sin 2 cp
COS 2 cp COS 2 CD
et regardons oc, p comme le demi grand axe et le demi petit axe d’une
ellipse, dont y — serait par suite l’excentricité, que j’appellerai k,
rapport de la distance focale 2 \Ja 2 — p 2 au grand axe 2 oc. Le radical
V/U s’écrira -O- \ji — k 2 sin 2 cp et les formules ( 87 ) deviendront sim
plement
(43) E = Çy/1 —— A 2 sin 2 cp c?cp, F = f ——'/ •
J '* J \J 1 — k 2 sin 2 cp
On convient de déterminer la constante arbitraire, dans ces inté-