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COMPLÉMENT A LA VINGT-QUATRIÈME LEÇON. 
DES INTÉGRALES EULÉIUENNES DE SECONDE ESPÈCE. 
261*. — Autre exemple d’intégrales finies, quoique prises dans un 
intervalle infini : fonction r. 
Considérons encore l’expression / x' l ~ l e~ x dx, ou n désigne un 
J o 
paramètre positif, intégrale importante, qu’on représente, d’une ma 
nière abrégée, par F(/?.), et qui, étudiée d’abord par Euler, puis 
surtout par Legendre, a reçu de ce dernier le nom d'intégrale eulé- 
rienne de seconde espèce. Elle est déterminée, malgré sa limite supé 
rieure infinie, à cause de l’exponentielle e~ x dont l’ordre de petitesse 
croît indéfiniment quand x grandit (t. I, p. 189), et aussi malgré la 
valeur infinie, à la limite inférieure, de la fonction sous le signe f 
quand n est plus petit que x ; car ce serait seulement pour n nul ou 
négatif que le degré d’infinitude de cette fonction, approximativement 
réduite à x n ~ y près de la limite inférieure, atteindrait l’unité et ren 
drait infinie l’intégrale (t. II, p. 64 b 
Si nous observons que e~ x dx — d{ — e~ x ) et si nous appliquons 
l’intégration par parties, il viendra 
fcc"- 1 e- x dx ou — fx n ~ y de~ x — — x n ~ l e~ x -t- {n — 1) f x' 1 -*-e~ x dx. 
Prenons la différence des valeurs de chaque terme aux deux limites 
x ■= o, x — œ, en supposant d’ailleurs nf> 1 ; et rappelons-nous que, 
pour x = œ, c’est l’exponentielle qui l’emporte dans le terme 
— x' l ~ y e~ x — — 
xn~y 
(t. I, p. 189), en sorte que Y\mx n ~ x e~ x — o pour x infini. Le terme 
intégré —x n - y e~ x ne donnera rien aux deux limites, et nous aurons 
la formule de réduction 
(pour 
(21) < 
Ai > r) f x n ~ l e~ x dx = {n— 1) Í x ,l ~ 2 e~ x dx 
do d 0 
F (n) = (n — 1) F ( n — 1).