TRANSFORMATION DE LANDEN ET GAUSS. 
valeur (28) et coscp par la sienne (29) après avoir mis partout, dans 
celle-ci, y/i — sin 2 cp, à la place de coscp,, il viendra 
Divisons enfin (3o) par (31), puis intégrons entre les limites zéro 
etcp, ou zéro et cp t . Nous aurons la formule cherchée 
odule — ou -■—y - Or, A'désignant toujours le 
a i a -+- b 
appelle A, le module 
module y/1—A 2 complémentaire de A, on a b—ak' et, par suite, 
— A' . . 1 -t-A' 1 r 
• Donc faisons a — 1 ou, par suite, a, = —-—5 ella tor- 
mule (32) prendra la forme sous laquelle elle est propre à transformer 
l’intégrale F(A, cp) en une autre de module moindre : 
(33) 
Examinons, en particulier, avec Gauss, le cas de l’intégrale complète, 
où les limites supérieures ce et cp,, atteignant toutes les deux la va 
leur iir, deviennent égales comme les limites inférieures. Alors la 
transformation (32), appliquée à l’intégrale du second membre dont 
les deux paramètres a u A, sont compris entre a et A, donnera une 
TU 
nouvelle intégrale analogue, ayant toujours les limites zéro, -, 
mais, au lieu des deux paramètres a, et A,, leurs deux moyennes arith 
métique et géométrique, que j’appellerai a 2 , A 2 , moins distantes encore 
l’une de l’autre que n’étaient et A,. En continuant de même, on 
formera évidemment une série de moyennes arithmétiques a 3 , 
a4, .. ., a n , de plus en plus petites, et une série de moyennes géomé 
triques, A 3 , A 4 , . . . b n , de plus en plus grandes, dont l’intervalle mu 
tuel tendra vers zéro d’après l’inégalité (27). C’est dire qu’il existe 
une certaine limite commune M des moyennes arithmétiques et géo 
métriques ainsi formées successivement à partir des deux nombres