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FONCTIONS ELLIPTIQUES : FORMULES D’EULER 
la Mécanique rationnelle. Aussi leur élude détaillée sortirait-elle com 
plètement du cadre de ce Cours. 
Il est bon toutefois de connaître la première base, posée par Euler, 
de leur théorie, consistant en une propriété qui montre l’analogie du 
sinus elliptique avec le sinus circulaire, et celle des fonctions en x, ànx 
avec le cosinus circulaire. Si, nous bornant d’abord au sinus, nous 
appelons x et y deux valeurs quelconques de F, et que, pour abréger, 
sn'F désigne la dérivée de la fonction snF, le sinus elliptique de la 
somme x-\~y sera donné par la formule 
sn,r sn'y snjKsn'ic 
(36) 
1 — A 2 sn 2 x sn 2 y 
qui se réduit bien, pour A = o, à la formule classique du sinus circu 
laire de la somme de deux arcs x et y, savoir, sin,a?sin'j- -h sinjy sin',37, 
c’est-à-dire sina? cosjy +• siny cosx. 
Pour démontrer cette relation (36), nous n’aurons qu’à raisonner 
comme lorsqu’il s’agissait (t. I, p. 8*) d’établir les relations analogues 
concernant les sinus et cosinus de la différence ou de la somme de 
deux arcs. Faisons varier x et y, mais de manière à maintenir con 
stante la somme x -+-y, que nous appellerons c, ou prenons, par suite, 
dy — — dx; de sorte que la dérivée en x des fonctions snjy, sn'_y égale 
leur dérivée en y changée de signe. Nous constaterons que la dérivée 
totale du second membre est nulle; ce qui prouvera l’invariabilité de 
ce second membre. El il suffira de poser alors y = 0, x — c, pour re 
connaître que sa valeur est bien snc. 
11 y a donc à former d’abord la dérivée sn'F de la fonction de fonc 
tion sincp, où co se trouve lié à F de telle manière que, par définition, 
do d F 
à-dire 
sn'F —' cos cp y/1 — A 2 sin 2 o. 
(3?) 
Pour la valeur initiale F — o de la variable (d’où cp = 0), on voit 
que sn F = o et sn'F = 1. 
En élevant (87) au carré, puis remplaçant sincp par snF et cos 2 cp 
par 1 — sn 2 F, cette relation donne l’équation différentielle 
(38) 
(sn'F) 2 = 1 _(j -4- A 2 ) sn 2 F A 2 sn 4 F. 
Comme nous aurons besoin de connaître la dérivée sn"F de sn'F, dif- 
ferentions les deux membres de (38) par rapport à F ; et supprimons, 
de part et d’autre, le facteur commun 2 sn'F différent de zéro. Il