» 
’"''«■*0» 
POUR L'ADDITION DES ARGUMENTS. 43* 
viendra 
P 0 ** Par 
tre Panaloàdj 
' au ’ ln «. nous 
■ P««r abréger. 
'Optique de lj 
(3g) sn"F — — sn F (1 -f- A 2 — 2A 2 sn 2 F). 
Si donc, pour abréger l’écriture, nous appelons X la fonction sn^c de x, 
Y la fonction sny de y, les dérivées X',X" et Y', Y" de ces deux fonc 
tions, par rapport à leur variable respective x ou y, vérifieront, 
d’après (38) et (3g), les relations 
( X' 2 = 1 - ( 1 + A 2 ) X 2 -f- A 2 X 4 , X" = - X(i + A 2 — aA 2 X 2 ), 
(_40) ( Y' 2 = 1 — ( 1 -h A 2 ) Y 2 -v- A 2 YS Y" = — Y ( 1 -+- A 2 — 2A 2 Y 2 ), 
h sinus eircu- 
+■ SW/Sm'x, 
qui donnent immédiatement 
( X 2 Y' 2 —Y 2 X' 2 =.( 1 — A 2 X 2 Y 2 )(X 2 — Y 2 ), 
(4l) ) YX" — XY" = 2 A 2 XY ( X 2 — Y 2 ). 
'à raisonner 
is analogues 
i somme de 
»tenir con- 
XY' -4- YX' 
Cela posé, considérons le second membre ÿ, 2 yi de (36), et ob 
servons que, C -J- ou y' valant — 1, la dérivée totale en x de son numé 
rateur est simplement YX/' — XY" (grâce à la destruction mutuelle de 
> par suite, 
sn y égale 
la dérivée 
iabilité de 
deux termes ±X' Y'), tandis que celle de son dénominateur 1 — A 2 (XY) 2 
est 2 A 2 XY(XY' — YX'). Par suite, la dérivée de ce second membre aura 
pour numérateur (1 - A 2 X 2 Y 2 ) (YX" - XY") - 2 A 2 XY (X 2 Y' 2 - Y 2 X' 2 ), 
et, son dénominateur (i-—A 2 X 2 Y 2 ) 2 ne devenant ni nul, ni infini, 
, pour re- 
elle s’annulera à la condition nécessaire et suffisante que ce numéra- 
on de îonc- 
dé&mlion, 
5 h , 
~ ’ c esl " 
leur s’annule. Or les valeurs (40 des deux binômes X 2 Y' 2 —Y 2 X' 2 et 
YX" —XY" montrent qu’il est bien nul en effet. 
XY' YX' 
Donc l’expression se trouve fonction seulement de la 
1 1 — k 2 Y - 
somme x -f- y ou c\ et il suffît d’y faire x — c, y = 0 (d’où aussi 
Y’ 0 et Y' = 1), pour la réduire à XY' = X — snc, ce qui est la valeur 
cherchée. 
De la relation (36) on déduit aisément, pour les fonctions en et dn, 
ro), on voit 
les deux formules, dues également à Euler, 
snF et cos's 
die 
/ cna?cnr — en'a? en 'y 
en ( x -f- y ) = yz—-r 5 i 
l 1 — A 2 sn 2 ic sn 2 jy 
^ 1 i dna? dny— ~ dn'xdn'y 
f dn(ir-t-r)— - > 
’F de sn F,dif- 
el supprimons, 
■enl de iéro. B 
qui mettent en évidence l’analogie de ces fonctions entre elles et avec 
le cosinus circulaire, auquel se réduit la première pour A r= 0.