DOUBLE PÉRIODICITÉ DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. /)5* 
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aussi, de sorte 
ibliendra donc 
»servant, d’une 
le numérateur d» 
où les formules dn 2 .# — i — A 2 X 2 , dn 2 y — i—A 2 Y 2 , différeutiées, per- 
u j i /dXX'YY' i 1 , , , 
mettent enfin de remplacer — ; par an a?an y. 
1 anccany 1 k- ,y 
271*. — De la double périodicité des fonctions elliptiques. 
SI les définitions mêmes, sincp, ± qi—-sin 2 cp ou cosep (du moins 
pour cp réel), et \J x — A 2 sin 2 cp, des fonctions snF, en F, dn F, ne mon 
traient pas que ces fonctions reprennent leurs valeurs absolues quand 
© croît de TT ou F de 2F 1 (A), et qu’elles sont, par suite, périodiques, 
en ayant pour périodes, les deux, premières, 4F*(^) et, la troisième, 
2F 1 (A), cette périodicité résulterait des formules (36) et (42), dans 
lesquelles il faut concevoir les dérivées sn' x, sn'y, en'#, cn'jy, dn'#, 
dn'j/ remplacées par leurs valeurs cnxdnx, cnydnjy, —sn#dn#. 
— snjp dnjy, —A 2 sn#cn#, —■A 2 snycn > y, résultant de formules em 
ployées ci-dessus. Il suffirait, en effet, d’y faire d’abord x F 1 et 
y — F 1 [0(1 F 1 désigne, pour abréger, F 1 (A)], en observant que 
sn F 1 = sin - = 1, cnF[Z=:o et dnF t =: — A 2 =: A', pour obtenir 
2 
les valeurs sn2Fj = o, en 2Fj —1, dn2F 1 —1; après quoi une nou 
velle application de ces formules (36) et (42), où l’on poserait y — 2F 1 , 
donnerait bien 
sn(#-y aF 1 ) = —sn#, cn(ac-y 2 F 1 ) = — en#, dn(#-y 2F t ) = dn#. 
Ainsi les fonctions elliptiques possèdent, comme leurs analogues cir 
culaires, une période réelle. Mais elles s’en distinguent eu ayant de 
plus une période imaginaire ; de sorte qu’elles sont doublement pério 
diques et cumulent, d’une certaine manière, avec les propriétés des 
fonctions trigonométriques, pourvues seulement d’une période réelle, 
celles des fonctions exponentielles ou hyperboliques, pourvues seule 
ment (t. I, p. 35*) d’une période imaginaire. 
Pour nous faire une idée de cette période imaginaire des fonctions 
elliptiques, donnons, à partir de \ état initial, cp = o, F = o et sn F — o, 
de cp, F et snF, des valeurs imaginaires à ces variables simultanées tp, 
F, snF, que relient par définition les équations snF — sincp et 
= y/1 — A 2 sin 2 ©. 
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A cet effet, posons-y cp — — 1, F = G y/— i (avec -X», G réels) et par 
suite, snF = sin (4V—O — \J—1 sihX, d’après la définition môme 
(t. I, p. 33*) de la fonction sinus d’une variable imaginaire. L’équa-