5o* LES MOYENNES GÉOMÉTRIQUES SONT INFÉRIEURES AUX MOY. ARITHM. 
SM(i + oc) ou ftM + MSa, donnera évidemment Sa —o. Or la 
moyenne géométrique ¡a aura, pour son logarithme népérien, 
— S log FM (i 4- a)] = logM H Slog(i + a). 
n n 
Il viendra donc log[x — logM ou log|| = ~ 2 l 0 g( T + a ) ! et ^ s’agit 
de reconnaître que ce logarithme, - Slog(i + a), du rapport est 
inférieur au logarithme de l’unité, c’est-à-dire à la quantité nulle - Sx, 
ou que l’on a S [— a + log(i -h a)] < o. Or cette inégalité se dé 
montre de suite, pour chaque terme de la somme S, en y regardant a 
comme une variable qui croîtrait de — i à oo, et en observant que la 
fonction continue — a + log (i H- a ) devient alors, à l’instant a = o où 
elle s’annule, maxima par suite du signe de sa dérivée 
i _ a 
i a i + a 
signe contraire à celui de a. 
Toutefois, comme, aux environs de son maximum, une fonction 
n’éprouve que des changements du second ordre de petitesse, on aura, 
à des écarts près de cet ordre, log = o, et les deux moyennes seront 
sensiblement égales, quand les nombres proposés s’écarteront peu de 
l’égalité, ou tant que leurs écarts relatifs a d’avec leur moyenne arith 
métique resteront très petits. 
273*. — Application des intégrales définies au calcul approché du reste 
de certaines séries. 
Les calculs d’intégrales définies comportent encore, en Analyse, un 
emploi parfois très utile : c’est l’évaluation approchée des restes d’un 
grand nombre de séries peu convergentes à termes de même signe, 
positifs par exemple, séries auxquelles d’ailleurs se ramènent, par le 
groupement deux à deux des termes qui se suivent, celles dont les 
termes sont décroissants et à signes alternés. 
L’expression générale des termes de la série proposée étant une 
certaine fonction /O) de leur rang x, admettons qu’on ait fait, 
par un calcul direct, la somme des plus influents, /(o), f{i), 
/( 2 )> •••>/(«— O» et considérons les autres,/(n), /{n + i), .... La