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FORMULES DE L’AIRE CONTENUE DANS L’ORBITE 
d’équilibre, la forme ASA', définie par l’équation y — quand on 
prend pour unité de longueur le double produit de la profondeur de 
l’eau au-dessous de xx r par la racine carrée du rapport de cette pro 
fondeur au triple de la hauteur OS = h de l’onde ( 1 ). 
283*. — Expressions générales d’une aire plane, en fonction des coor 
données d’un point mobile qui en décrit le contour et de leurs diffé 
rentielles. 
Quand un point se déplace le long d’une courbe fermée AMBA, et 
que l’on convient d’attribuer à la surface ±y dx siny comprise entre 
deux positions successives de son ordonnée variable y le signe même 
du produit ydx de cette ordonnée par le déplacement élémentaire dx, 
positif ou négatif, de son pied, l’aire de l’orbite AMBA devient, 
du moins au signe près, la somme algébrique de toutes les bandes 
pareilles ydx siny décrites pendant une révolution complète du point 
le long de la courbe; et elle s’exprime très simplement au moyen d’une 
intégrale, où figure, par exemple, comme variable indépendante, le 
temps t dont sont fonctions les coordonnées x, y du point mobile. 
Supposons, pour fixer les idées, que le point décrive son orbite en 
tournant comme l’indiquent les flèches ou comme il le ferait si, mobile 
autour de l’origine, il allait, entre Ox et 0/, des x positifs vers les y 
positifs; de manière à avoir : i° des abscisses x décroissantes dans la 
Fig. 4i. 
partie de la courbe où les y sont les plus grands et, généralement, 
dans toutes celles, AP, QB, . . ., que des parallèles à O y, tirées des y 
négatifs vers les y positifs, coupent à leur sortie de l’orbite; 2° au 
contraire, des abscisses x croissantes dans les parties PQ, BA, . . ., que 
ces parallèles coupent à leur entrée dans l’orbite. Divisons la surface, 
au moyen des mêmes parallèles successives à l’axe des y, en bandes 
(’) Voir mon Essai sur la théorie des 
eaux courantes, p. 384-