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étroites. L’une d’elles quelconque, comprise entre les deux éléments 
AIN et N'AL du contour, égalera le produit de la portion interceptée, 
3VLM, d’ une parallèle, par sa distance, mn x sin y, à l’ordonnée voi 
sine «N; et, si y 2 désigne, sur mM, l’ordonnée la plus grande, savoir 
celle de AI, y x celle de AL ou plutôt, sur la parallèle voisine nN, 
l’ordonnée la plus petite, infiniment peu differente, «N', la bande 
aura pour expression 
(y2 — y i) mn sin y = y 2 mnsiny — y x rrmsin y. 
Alais mn est la valeur absolue de l’accroissement dx de l’abscisse 
quand Je point mobile passe soit de AI à N, soit de N' à AI', accroisse 
ment négatif de AI à N, positif de N' à AL, qu’on peut appeler dx 2 
pour le premier de ces passages, dx x pour le second. Il est donc permis 
de remplacer mn par — dx 2 dans le terme r 2 w«siny et par dx x dans 
le terme —y x mn sin y ; ce qui donne en tout, pour exprimer Faire 
partielle correspondant aux deux éléments AIN, N'AL de la trajec 
toire du point mobile, la somme algébrique, —y x dx x sin y—y 2 dx 2 s\n y, 
des valeurs reçues par l’expression —ydx sin y pendant les deux 
instants respectifs dt x et dt 2 où ces deux éléments auront été décrits. 
Il en sera évidemment de même pour les autres bandes de Faire 
considérée, qui, ensemble, auront comme limites, à leurs deux bouts, 
tous les éléments de l’orbite parcourue non parallèles à Faxe desj'ou 
donnant des produits —ydx sin y différents de zéro. Donc la surface 
qu’entoure la courbe totale AAIBA égalera la somme des valeurs re 
çues, durant toute une révolution T du point mobile, par la différen 
tielle — ydx sin y, où y et dx s’exprimeront au moyen de t et de dt dès 
que l’on connaîtra les deux fonctions, de la forme x y = <p ( t), 
définissant le mouvement du point. Et l’on aura, en appelant i 0 l’épo 
que du départ de celui-ci, 
(i5) 
/'»¿O - * - T „t 0 -hT 
Aire de l’orbite ——(siny) / yx'dt ——(siny) / ?(0 
t fl 
Si l’on veut laisser à l’expression placée sous le signe f sa forme la 
plus simple, ydx, il sera nécessaire d’indiquer de quelque manière 
que x n’est pas la variable indépendante, comme on pourrait le croire, 
et que les limites t 0 , t 0 -\- T concernent non pas cette variables, mais 
bien une autre, t, dont x et y sont deux fonctions distinctes. A cet 
effet, l’on pourra faire figurer au bas et au haut du signe f la vraie 
variable indépendante, en écrivant la formule ainsi : 
(16) Aire de l’orbite =—(siny) / ydx. 
di=t 0