w 
58* NOTAT. POUR LES INTÉGR. DÉFIN. A VARIABLE d’iNTÉGR. NON EXPLICITE. 
De tels cas où, sous un signe /, ne se trouve pas explicitement dé 
signée la variable indépendante, dite vcn iciIjIg cl uxtGcyi atioxXy qui y 
change avec continuité mais arbitrairement d’un élément à l’autre, 
sont assez fréquents, surtout dans les transformations au mo\en de 
l’intégration par parties; et alors il importe de faire connaître cette 
variable en indiquant, comme on vient de voir, que les limites sont 
deux de ses valeurs. 
On opérera encore de même quand il s’agira d exprimer les sub 
stitutions des deux limites respectives, à effectuer dans une intégrale 
indéfinie obtenue, pour prendre ensuite la différence des deux résul 
tats. Toutes les fois qu’une telle intégrale indéfinie se présentera sous 
une forme capable de laisser quelques doutes au sujet de la variable 
d’intégration, on fera figurer celle-ci à la place où s’inscrivent les va 
leurs substituées. Par exemple, si U désigne, d’une manière abrégée, la 
fonction 
J y^L — L 
J d' 
( = 0 
’ce, l’intégrale 
y dx s’indiquera par (U)*_^ +T , 
au lieu de (U)^ 0+ . Le résultat d’une substitution unique, comme 
t~ ¿ 0 -hT, serait marqué simplement par (U) , ou même par 
U 
f=/ 0 +T* 
Mais revenons à l’évaluation de la surface qu’enclôt la trajectoire 
d’un point; et supposons qu’on l’effectue par une division en bandes 
étroites parallèles non plus à l’axe des y, mais à l’axe des x. Les rôles 
des x et des y seront changés; ce qui, abstraction faite du signe -+- 
ou —, conduira à l’expression (sinO) f xdy. Et comme alors le mou 
vement du point mobile, supposé représenté toujours par les deux 
formules x—f{t), y = o(i), a lieu en tournant dans le sens qui va 
des ordonnées positives (actuellement les x) vers les abscisses posi 
tives (actuellement les y), les dy se comporteront comme faisaient, 
tout à l’heure, les dx changés de signe ; en sorte que la valeur absolue 
de Faire ne sera pas —(siny) f xdy, mais bien (siny) f xdy. En ajou 
tant, si l’on veut, la moitié de cette nouvelle expression à la moitié 
de la précédente —(siny)fydx, il viendra, en tout, la triple formule 
(i7) 
Aire = sin y / 
d t — t a 
x dy 
j y*t — Iq -f- r • — 
ï ydx= S -^lf 
(xdy —ydx). 
On élimine de ces formules la considération du temps t, pour lui 
substituer, par exemple, celle de l’arc 5 décrit par le point mobile, en