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POTENTIELS QUI S’ÉTENDENT A TOUTE LA MASSE POTENTIANTE : 
où égal à r, est du degré i, la somme n -h m, égale à 4, excède trois 
unités, et l’on peut différentiel' l’intégrale trois fois sous les signes f. 
Dans un espace à deux dimensions, les potentiels /(logr)pcfcj et 
f(r 2 logr)pdTü se différentieront encore, respectivement, une fois et 
trois fois sous les signes / : car log/', ayant ses dérivées en x etj, 
. i dr (x—£, r—r)) , , -, , 
savoir —; ou- —f——nomogenes du degre — i, est ici 
rd(x,y) r- 
assimilable à une fonction homogène du degré zéro; et elle devient, en 
effet, pour r nul, d’un ordre d’infinitude infiniment petit (t. I, n° 88, 
p. i4o). Au reste, si logr et r 2 Iogr sont transcendantes, leurs déri 
vées, premières pour logr, troisièmes pour r 2 logr, sont algébriques 
et du degré d’homogénéité — i, comme on vient de le voir dans le cas 
de logr et comme le montrent, dans celui de / -2 log/-, des différentia 
tions successives, où l’on observera que, par exemple, la dérivée 
en x de r 2 =. (x— ç) 2 + ... est 2{x— ç) ; d’où résulte simplement 
z(x— £)]ogr pour la partie transcendante de la dérivée première de 
i' 2 log r par rapport à x. 
Quand le degré n d’homogénéité de 6 est entier, on peut même 
utiliser la différentiation en x, y, . . ., de 1’intégrale f’hpdm, sous 
le signe f, pour obtenir les dérivées partielles de l’ordre n -+- m, à 
la condition d’y compléter les résultats par l’addition de termes très 
simples, proportionnels à la densité p(x, y, ...) au point potentié. 
En effet, toute dérivée de l’ordre n -H m •— i, étant un certain potentiel 
aussi de la forme f typdm, étendu à la totalité de la masse potentiante, 
pourra s’écrire f'l/ l pdm, si y désigne une fonction d’un degré d’ho 
mogénéité, en ç — x, i] — égal à n — (n -t- m — i) ou à i — m. Sa 
dérivée en x, par exemple, c’est-à-dire l’une des dérivées n H- m iemes 
considérées, vaudra donc l’intégrale résultant de sa différentiation sous 
le signe f, plus le terme j' p cos (/i,£) de, que l’on peut écrire encore 
*' (J 
a / 4q p cos(«, £) —- • Or (J/j, fonction homogène, du degré i — m, des 
d(7 T 
projections \ — x, r]—y, ... du rayon r, est le produit du facteur 
/.i—m, constant sur toute la figure a, par une fonction homogène du 
degré zéro, qui pourra bien varier avec la direction du rayon r, mais 
non avec sa grandeur. Comme, d’ailleurs, le rapport ~ ne dépend pas 
non plus de r quand les figures concentriques a sont décomposées 
homothétiquement en éléments da, et comme enfin p(£, tj, . ..) est ré 
ductible à p(x,y, ...) sur toute l’étendue infiniment petite de <r, le 
terme complémentaire dont il s’agit revient bien au produit de