g/j* PROPORTIONALITÉ DE L’AIRE A L ? ARG DANS LA CHAINETTE. 
En d’antres termes, Fécjuation de la courbe donnera identirjuement 
y— y/1 4-y2 et) par suite, /=i+/ 2 OU encore, par la différentia 
tion des deux membres, yy' — y'y". Cette dernière équation, écrite 
y (y" — y)=z O, exige que l’on prenne soit/'=o, soit y" —y. Or po 
ser y'— o, c’est attribuer à y une valeur constante, que l’équation du 
problème, y =\/1 -+- y' % , astreint même à égaler l’unité : la courbe 
n’est donc autre, alors, que la parallèle y = i à l’axe des abscisses me 
née à la distance i de cet axe, parallèle pour laquelle la surface 
rectangle de hauteur i, 
égale bien l’arc correspondant, 
qui 
est une de ses bases. 
D’autre part, nous savons (t. I, p. 84*) qu’on satisfait à la seconde 
alternative, c’est-à-dire à l’équation y” — y, par une expression de la 
forme y = c coller + c y sih^r, c et c x désignant deux constantes arbi 
traires. Portons cette valeur de y, avec celle de y' qui s’en déduit, sa 
voir y' = csihic -+- Ci coh ¿c, dans l’équation y- = i -t-y' 2 ou y- — y' i= 1 > 
et, en nous souvenant que la différence entre les carrés d’un cosinus 
hyperbolique et du sinus hyperbolique vaut l’unité, nous aurons 
c-—c\ — i. Comme il existe des sinus hyperboliques de toutes les 
grandeurs, depuis —oo jusqu’à oo, on peut poser c 1 =sihG; d’où 
c = ± \ -+- c\ — ± cohC, et aussi 
y ou c cohx -h ci sih a; = dr (coh G coha? ± sih G siha?) = ± coh (x =h C). 
En se bornant à désigner par —C la constante arbitraire ±G, on 
aura doncy — ± cob(^ — C), et, par suite, y'— ± sib [x — C). Enfin 
l’équation propre du problème, y — \Ji + y /2 , devenue 
± coh (x — G) = y/ 1 H- sih 2 (x — G) = coh (a? — C), 
ne sera vérifiée que si l’on adopte les signes supérieurs, c’est-à-dire 
par la valeur y ~ coh(a; — C), 
Ainsi les courbes répondant à la question sont les diverses positions 
que prend la courbe y — cohx, symétrique par rapport à l’axe des y, 
quand on la déplace de quantités arbitraires G parallèlement aux x. 
Il est clair qu’elle a pour enveloppe, dans ce mouvement, la droite y — i 
décrite par son sommet ou point à ordonnée minima y — i, droite qui 
constituait la première solution du problème posé. 
Cette courbe, représentée par l’équation y '= coh x, a reçu le nom 
de chaînette, parce qu’elle figure la forme d’équilibre d’un fil flexible 
homogène, pesant, fixé à ses deux extrémités. L’arc s — f \J v h- y ,2 dx, 
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