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nous aurons 
de toutes les 
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coh(x±C). 
raire ±C, ou 
(j-CVÏnfin 
-C), 
urs, c’esl-à-dire 
iiverses positions 
>ort à l'axe des/, 
allelemenl aux a 
ni, la droite/=■ 
v — i, droite qui 
x t a reçu le w 
ore d’un fil flexibk 
IM 
RECTIFICATION DES COURBES EN COORDONNÉES POLAIRES. 65* 
compté à partir du sommet, y égale donc Faire 
J f y dx = / eohxdx — sihir; 
o «A 
et, comme sih# = ± \Jco№x — i — ± \Jy 2 — i, il y existe, entre l’arc 
et l’ordonnée, la relation simple s — zh y/y 2 — i, ou 
(33) f l — s *=!. 
C’est dire que, dans la chaînette, le carré de l’ordonnée dépasse d’une 
quantité constante le carré de l’arc. 
290*. — Rectification d’une courbe rapportée à des coordonnées po 
laires; application à la spirale logarithmique et à la loxodromie. 
L’emploi des coordonnées polaires se trouve tout naturellement in 
diqué dans l’étude de certaines courbes planes ou gauches, surtout 
de celles qui coupent sous des angles régis par des lois simples les 
rayons vecteurs émanés de l’origine; et il y a lieu de voir comment s’y 
évalueront les arcs. 
Pour embrasser la question dans toute son étendue, supposons la 
courbe proposée AB située d’une manière quelconque dans l’espace, 
Fig. 43. 
et chacun de ses points, tels que M, défini ( t. I, p. g4*) par son rayon 
vecteur OM~r, par sa hauteur angulaire cp — mOM, angle ^variable 
entre qz de ce rayon vecteur avec sa projection O m sur un plan 
horizontal xOy, enfin, par son azimut 0~xOm, angle fait avec 
l’axe horizontal fixe Ox par cette projection O m, et qui peut varier 
de —00 à H- 00 quand le point M se déplace autour de l’axe vertical 
B. — II. Partie complémentaire. 5