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AIRE DE L’ELLIPSOÏDE : ELLIPSOÏDES DE RÉVOLUTION
d’un ellipsoïde de révolution autour de son grand axe 2 a et autour de
son petit axe 2 c. Il vient, en effet, pour k = o,
1 e 3
F = arc sine = — -5-
2 o
et, pour k — 1,
E = e,
loi
T
(p. 82),
.. (p. 7 8 )-
Mais il est particulièrement intéressant de voir à quoi se réduit le
second membre de (3o) quand les deux excentricités e, ke sont assez
faibles pour qu’on puisse négliger la quatrième puissance de e devant
l’unité, ou la cinquième puissance de e dans le numérateur de la der
nière partie de (3o). Alors, en posant arc sine = cp, les expressions (20)
(p. 84) de F et de E, réductibles à leurs deux premiers termes, de
viennent, parla substitution permise de cp à sincp dans les seconds,
après qu’on y a mis
6
/cV , c’est-à-dire e
1+ F e %
()
^ k 2 e 2
n
e -f- i e 3 pour arc sine. Et le second membre de (3o), si l’on remplace,
en outre, <2, b par c ^ 1-f- ^ e~\ c^i-h - A 2 e 2 ^, sera finalement
2 TTC 2
; ce qui,
vu les mêmes valeurs approchées
de a et b, revient à 2r. ( a ^ ? demi-surface d’une sphère d’un
rayon égal à la moyenne arithmétique des trois demi-axes a, b, c.
Donc un ellipsoïde peu excentrique a, très sensiblement, même sur
face totale qu’une sphère dont le rayon R est la moyenne arithmé
tique de ses trois demi-axes.
A une approximation plus élevée où l’on tient compte, dans le se
cond membre de (3o), des termes de l’ordre de e 4 , cette valeur de R doit
être remplacée par les quatre cinquièmes de la même moyenne arithmé-
tiqueplusun cinquième de la moyenne géométrique des trois demi-axes.
On le reconnaît en procédant comme on l’a fait au n° 288 (p. 111) pour
la rectification approchée de l’ellipse : le mieux, au point de vue de la
brièveté des calculs, est d’y employer le développement direct en
série, suivant les puissances de e, de l’intégrale figurant dans le der
nier terme de (29), au lieu d’y recourir à ceux des fonctions E, F et
à la formule (3o) ( 1 ).
(') Je crois utile de donner ici ce calcul approché du rayon R d'une sphère
équivalente en surface a un ellipsoïde, dans le cas d’excentricités e, ke assez pe-
