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und wegen der beständigen Beziehung der nämlichen Anzahl 
auf einander folgender Glieder hat man dergleichen Reihen 
recurrente Reihen genannt. 
X 4- i 
§. 271. Wenn —;—in eine Reihe zu verwandeln 
2 t v x 
ist, so setze man 
X ch 1 1 2 4 5 
— = A + Bx^ + C*J + Dx + Ex* + Fx* +... 
2 ch 'S? 
Werden beide Theile mit dem Nenner vcrvielmaligt, und 
alle Glieder auf die nämliche Seite gebracht, so kommt 
2A + 2B 
x T ch 2C 
x T ch 2D 
x ch 
2E 
x 5 ch rc. i 
-Ich A 
ch B 
ch c — 1 
ch 
D 
ch rc. i 
in welcher Gleichung, nach den Schlüssen des vorigen Pa 
ragraphs, sowohl das erste Glied, als auch die Coefficicn- 
ten aller Potenzen, einzeln gleich Null zu setzen stnd. Es 
ist also 2A — 1 = 0, 2B + A = 0, 2C + B = 0, 2D + 
C — 1 — 0 rc., und daraus 
A —z, B = — i, C — z, D — ^ E = — mithin 
12 3 4 5 
* + 1 , x^ x^, 7x T 7x T 7x 3 
2 + %sx r ”4~ ‘ IT Tis 32* lii ” * 
So läßt sich jede gebrochene Function in eine Reihe ver 
wandeln, wenn man die gegebene Function einer Potenzen- 
reihe mit noch zu bestimmenden Coefficienten gleich setzt, beide 
Theile der Gleichung mit dem Nenner vcrvielmaligt, alle 
Glieder auf eine Seite bringt, das erste Glied und jeden 
Coefficienten gleich Null setzt, und die Coefficienten entwickelt. 
Die Erponenten müssen in einer solchen arithmetischen Reihe 
auf einander folgen, daß alle Erponenten der veränderlichen 
Größe, die sich sowohl im Zähler, als im Nenner, befinden, 
darunter enthalten find. 
2st die irrationale Function >/ O 2 + x 2 ) in eine Reihe 
zu verwandeln, so setze man 
V O 2 + x ) zzi a -j- Ax 2 -f Bx v + Cx 6 + ...