Stetigkeit von Funktionen zweier Variablen. — Der Differentialquotient. 93 
IV. Abschnitt. 
Elemente der Differentialrechnung. 
§ 1. Der Differentialquotient und das Differential. 
54. Begriff des Differentialquotienten. Unter den Fragen, 
die sieh beim Operieren mit Funktionen ein stellen, ist eine der 
wichtigsten auf die Änderungen gerichtet, welche die Funktion bei 
bestimmten Änderungen der Variablen erfährt, und zwar auf die 
Änderungen im großen und kleinen; denn sie machen das aus, was 
man den Verlauf der Funktion nennt. 
Es sind also Denkprozesse von fundamentaler Bedeutung für die 
Analysis, an deren Erklärung jetzt geschritten werden soll. In erster 
Linie wird dabei an Funktionen einer Variablen gedacht werden. 
Es sei y = f{x) eine in dem Intervall (cc,ß) eindeutig definierte 
und stetige Funktion; unter x möge jetzt ein bestimmter Wert im 
Innern des Intervalls verstanden werden. Bei dem Übergange von x 
zu dem ebenfalls in («, ß) liegenden Werte x + h, wobei also die 
Variable die Änderung 
A x = h 
erfährt, geht der Wert der Funktion in f(x -j- li) über und erleidet 
die Änderung 
‘4y = 4f{?) =/(> + Ä) — fix). 
Je größer bei einem festgesetzten Ax das Ay, oder je kleiner 
bei einem angenommenen Ay das zugehörige Ax ausfällt, umso 
stärker, wird man sagen dürfen, hat sich die Funktion bei dem be 
schriebenen Übergang von der einen Stelle ihres Bereichs zu der 
andern geändert, so daß in dem Quotienten 
4y _ Af{x) = f{x 4- h) —f(x) - N 
/ix 4x h ^ 
ein geeignetes Maß für die Stärke dieser Änderung zu erblicken ist. 
Da Ax, Ay Differenzen zwischen zwei Werten von x, bzw. y darstellen, 
so bezeichnet man sie als Differenz der Variablen, bzw. Differenz der 
Funktion und nennt (1) den Differenzenquotienten, gebildet an der 
Stelle x mit der Differenz Ax = h. 
Der Differenzenquotient erfordert also zu seiner Bildung zwei 
Stellen des Bereichs; läßt man die zweite der ersten unbegrenzt sich 
nähern, h also gegen die Grenze 0 konvergieren, so strebt wegen der 
vorausgesetzten Stetigkeit von /(x) auch der Zähler von (1) der Null 
als Grenze zu. Man hat es also mit dem Quotienten zweier unend 
lich kleinen Größen zu tun, der je nach der Ordnung dieser Größen 
einer bestimmten endlichen Grenze oder der Grenze 0 oder der Grenze oo