Phoronomische Bedeutung des Differentialquotienten. 97 
schnitten gleiche Wege zurückgelegt werden, so stellte der Quotient 
f(x + h) —f{x) 
h 
die Geschwindigkeit, d. i. den in einer von den Zeiteinheiten, in welchen 
x und h ausgedrückt sind, beschriebenen Weg dar. 
Auf eine ungleichmäßige Bewegung läßt sich dieser Begriff der Ge 
schwindigkeit nicht unmittelbar übertragen; der ungeschriebene Quotient 
bedeutet nunmehr die während des Zeitintervalls (x, x -f- h) auf die 
Zeiteinheit durchschnittlich entfallende Weglänge; je kürzer das Zeit 
intervall, umso geringer die Veränderlichkeit der Bewegung während 
desselben, umso näher rückt die Bedeutung des Quotienten der einer 
Geschwindigkeit; und nähert sich der Quotient hei stetig gegen Null 
abnehmendem h einer Grenze, so wird diese, 
lim 
a = o 
f{x + h) —fix) 
h * 
als die im Augenblicke x herrschende Geschwindigkeit erklärt. 
Wenn also /(x) den bei geradliniger Bewegung in der Zeit x zu 
rückgelegten Weg ausdrücld, so hat der Differentialquotient /'(x) die Be 
deutung der am Ende dieser Zeit herrschenden Geschwindigkeit. 
Mit Hilfe des Bewegungsbegriffs kann dem Differentialquotienten 
eine bemerkenswerte Deutung gegeben werden. Stellt man sich yor 
die Variable x durchlaufe ihr Intervall (cc, ß) gleichmäßig, so durch 
läuft die Punktion ihren Bereich im allgemeinen ungleichmäßig; bis 
zu dem Zeitpunkte, in welchem die Variable den Wert x, die Funktion 
den zugeordneten Wert /(x) angenommen, sei die Zeit t verflossen, 
und in dem weiteren Zeitintervall r mögen die Werte x + h und 
h 
fix + h) zustande kommen; dann ist — = c die Geschwindigkeit, mit 
E{cb I Jft\ - E(oc\ 
welcher x sein Intervall durchläuft, und der Grenzwert von — ■ ■■— 
' T 
für lim x — 0 die Geschwindigkeit, mit der sich f{x) am Schlüsse 
der Zeit t in seinem Bereich bewegt; da nun 
f{x + h) —fix) 
h" 
f{x -f Ti) —fix) fix + li) - f{x) 
r r 
h e 
r 
und h mit t gleichzeitig gegen Null konvergiert, so ist der Differential 
quotient das Verhältnis der Geschwindigkeiten, mit welchen x und 
f{x) sich im gegebenen Augenblicke in ihren Bereichen ändern. Man 
kann somit den Satz aufstellen: Der Differentialquotient einer Funktion 
f(x) an einer Stelle x ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Funktion 
Czuber, Höhere Mathematik. ■ 7