Differential-Ableitung einer Summe. 
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Ist f(x) der in der Zeit x zurückgelegte Weg, also f'{x) die am 
Ende dieser Zeit herrschende Geschwindigkeit, so stellt das Differential 
df(x)=f'{x)dx den in dem Zeitintervall {x, x -j- dx) beschriebenen 
Weg umso genauer dar, je kleiner dx, und man kann dx so klein 
wählen, daß der Unterschied zwischen dem wirklich zurückgelegten 
Weg A fix) und diesem d/(x) im Verhältnis zu dx beliebig klein wird. 
Wird fix) in den Ordinaten einer Kurve zur Darstellung ge 
bracht, so ist df(x) = f{x)dx = dx tg a = QB (Fig. 28) die Ände 
rung, welche die Ordinate der Tangente bei dem Übergänge von x zu 
x -\- dx erfährt; dies unterscheidet sich von der Änderung der Ordi 
nate der Kurve, von z1 fix) = QM', umso weniger, je kleiner dx, und 
wiederum kann dx so eingeschränkt werden, daß das Verhältnis 
~~ dfi x ) _ dem Betrage nach beliebig klein wird. 
dx MQ ° ° 
§ 2. Allgemeine Sätze über Differentiation. 
59. Ableitung einer Summe. Sind /(x),g{x) zwei in dem 
Intervall (cc, ß) stetige und differenzierbare Funktionen, so hat auch 
deren Summe f(x) + g{x) einen Differentialquotienten; denn der Diffe 
renzenquotient 
fix -f h) -f- g(x -f h) — {/(x) -f g{x) ] _ f{x + h) — f{x) . g(x -\-h) — g{x) 
h h ' h 
konvergiert unter den obigen Voraussetzungen mit gegen Null ab 
nehmendem h gegen eine bestimmte Grenze: 
+ 9(?y\ = D/( x ) + d)g{x). (1) 
Die Formel kann leicht auf Summen aus einer beliebigen endlichen 
Anzahl von Summanden ausgedehnt werden; sie spricht den Satz aus: 
Die Ableitung einer Summe kommt gleich der Summe der Ableitungen 
der einzelnen Summanden. 
Ist die Funktion g(x) konstant == c, so ist ihr Differentialquotient 
Null, Formel (1) gibt dann 
D[/(x) + e] = D/(x). (2) 
Hiernach verschwindet ein konstanter Summand leim Differenzieren, 
mit andern Worten: Zwei Funktionen, die sich nur um eine additive 
Konstante voneinander unterscheiden, haben gleiche Alleitungen. 
60. Ableitung eines Produktes. Sind die Funktionen 
u = f(x), v — g{x) in einem Intervall stetig und differenzierbar, so 
gilt dies auch von ihrem Produkt. 1 ) Der auf dieses bezügliche Diffe 
renzenquotient läßt folgende Umformung zu: 
1) Den Nachweis der Stetigkeit überlassen wir dem Leser.