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HO Elemente der Differentialrechnung. § 3. Differentiation der elem. Funktion. 
so setze man x -j-y 1 x 2 = u und hat nun 
Der hier auftretende Grenzwert hat in 47 den Gegenstand einer 
besonderen Untersuchung gebildet, und es ist dort unter (14) die 
Zahl e für ihn gefunden worden. Man hat also endgiltig 
Dlog„ x 
ö a 
(2) 
Bei dem Anlasse ist auch schon erwähnt worden, daß das 
Logarithmensjstem mit der Basis e das natürliche genannt wird; jetzt 
sei hinzugefügt, daß dieses System in der reinen Analysis das allein 
gebräuchliche ist, während sich das praktische Rechnen des gemeinen 
Logarithmensystems mit der Basis 10 bedient. 
Aus dem Ansätze 
e lx =a° SaX 
folgt, wenn man ihn im natürlichen System logarithmiert, 
Ix — log a x • la; (A) 
auf x = e angewendet gibt dies 1 = log a e-la, woraus \og a e = j-, 
so daß statt (2) auch 
= ( 2 *) 
geschrieben werden kann. 
Die Gleichung (A) drückt den Zusammenhang zwischen den 
natürlichen Logarithmen und den Logarithmen irgend eines künst 
lichen Systems aus; auf das gemeine System angewendet führt sie 
zu den Gleichungen: 
1 
Ix = 110 • log«, log« 
Zio 
Ix. 
(B) 
Die Zahl M = ^ = 0A34 294481 903 • • •, durch welche die natür 
lichen Logarithmen in gemeine übergeführt werden, nennt man den Modul 
des gemeinen, ihren reziproken Wert ~ = 110 = 2‘302 585 092 994 • • •, 
der das entgegengesetzte leistet, den Modul des natürlichen Systems. 
Durch die Wahl a = e geht die Formel (2*) über in 
l 
JDlx = 
(3) 
eine Formel, die durch ihre Einfachheit diese Wahl der Basis recht 
fertigt. 
Die Formel (3) in Verbindung mit 63 gestattet, die Ableitung 
des Logarithmus einer jeden expliziten algebraischen Funktion zu 
bestimmen. Ist z. B. 
y — l{x -(— "|/1 —b- « 2 ),