114 Elemente der Differentialrechnung. §8. Differentiation der elem. Funktionen. 
die Wurzel ist wieder positiv zu nehmen, weil sin y in dem hezeich- 
neten Intervall von y positiv ist. 
3. Kehrt man y = arctg», wo bei unbeschränkt variablem » das 
y an das Intervall — ^ < y < ~ gebunden ist, um, so entsteht 
x = tgy, und die Beziehung 
Darctgx Digy = 1 
liefert 
D arctgx 
l 
sec 2 ?/ 
1 x 2 
(14) 
4. In derselben Weise ergibt sich aus der Umkehrung von 
y = arccotg» (» unbeschränkt, 0 < y < it) x = cotgy, und aus 
D arccotg x D cotg y = 1 
folgt 
D arccotg x = s- = — —r—5- (15) 
° cosec‘‘y 1 -j- x v ' 
Der Zusammenhang der Formelpaare (12), (13) und (14), (15) 
erklärt sich aus den in 43 nachgewiesenen Formeln: 
i % 
arcsin» + arccos» = 9 
arctg» 4* arccotg» == — ■ 
Auf die Funktionen arcsec» und arccosec» soll hier wegen ihrer 
seltenen Verwendung nicht eingegangen werden; indessen würde ihre 
Differentiation nach dem vorausgeschickten keiner Schwierigkeit be 
gegnen. 
Die Formeln (1) bis (15) dieses Paragraphen und die allgemeinen 
Sätze des vorigen reichen aus, um alle aus den elementaren Funk 
tionen durch eine endliche Folge von Operationen gebildeten Funk 
tionen zu differenzieren. 
69. Die Hyperbelfunktiouen. Zu den elementaren transzen 
denten Funktionen zählt man auch die Hyperbelfunktionen, so genannt, 
weil sie geometrisch mit der gleichseitigen Hyperbel in ähnlicher 
Weise Zusammenhängen wie die trigonometrischen (Kreis-)Funktionen 
mit dem Kreise. Sie sind um die Mitte des 18. Jahrhunderts von 
V. Riccati mit den heute üblichen Bezeichnungen eingeführt und 
besonders von Lambert weiter ausgebildet worden. 
Ihre analytische Definition kann mit Hilfe der natürlichen Ex 
ponentialfunktion wie folgt gegeben werden. Ist u die unbeschränkte 
reelle Variable, so wird 
e H + e~ u 
0 als hyperbolischer Kosinus (cosh u) 
e u — e~ u 
als hyperbolischer Sinus (sinh u)