Hyperbelfunktionen. 
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aufgefaßt werden; in der Integralrechnung wird gezeigt werden, daß 
u die Fläche des Hyperhelsektors OAH ist. 
Der Zusammenhang zwischen den beiden Argumenten u, 6 ergibt 
sich in folgender Weise: Die Relation 
co sh u -f- sinh u = e u 
■verwandelt sich im Hinblick auf die Figur in 
sec 6 + tg 6 = e“; 
die weitere Verfolgung dieses Ansatzes gibt: 
woraus 
Diese Gleichung wurde bereits 1599, also lange vor der Einführung 
der Hyperbelfunktionen, von E. Wright gefunden als mathematischer 
Ausdruck der Skala, nach welcher in der Mercator-Projektion die 
Punkte eines Meridians je nach ihrer geographischen Breite 6 in be 
zug, auf das Bild des Äquators angeordnet sind. Man nennt 9 die 
„hyperbolische Amplitude“ von u oder auch Lamberts transzendenten 
Winkel 1 ). 
70. Beispiele. In den nachstehenden Beispielen ist der Diffe 
rentialquotient zunächst in der Form angegeben, wie er sich bei An 
wendung der Regeln unmittelbar ergibt, an zweiter Stelle in seiner 
einfachsten Gestalt, mit Fortlassung der Zwischenrechnungen; in den 
späteren Beispielen ist nur das Resultat mitgeteilt. 
1. Dx m (ax n + h) p = mx m ~ 1 {ax n -f- Vy -\-jox m (ax n -\- • nax n ~ x 
= x m ~ x (ax n -f- h'y~ 1 [(m + np)ax n -f- mli]. 
nr* — n (w h\ (nr* n\ (nr> — n\ ( (2 —|— X &) 
bc — ab — ac-\- lax — x 2 
[x — b'f{x — c) 2 
Y x 
4. D(ax + h)Yax 2 +2hx + c = aYax 2 + 2bx + c 
{ax-\-hy 2{ax -)- &) 2 + — b* 
Yax*-j-2bxc yäx^-f 2bx -(- c 
b Da die Hyperbelfunktionen sich auf verschiedenen Gebieten als zweck 
mäßig erwiesen, so sei angeführt, daß auch Tafeln derselben berechnet worden 
sind, so von Forti, Nuove tavole delle funzioni iperboliche, Rom 1892.