Methoden zur Bestimmung höherer Ableitungen. 
129 
9 
Czuher, Höhere Mathematik. 
dagegen ist De** = ite** und 
D n e kx = W- T ; 
und weil a x =e xla , so ergibt sich hieraus 
D n a x = (la) n a x . (6) 
4. Die Formel D sin# = cos# = sin [x + zeigt, daß die ein 
malige Differentiation von sin# der Vermehrung des Arguments um 
Y äquivalent ist; infolgedessen wird w-malige Differentiation einer Ver 
mehrung des Arguments um »-* äquivalent sein; es ist also 
D n sin x = sin (x -f- n y) . (7) 
Durch denselben Schluß ergibt sich aus D cos x = — sin x 
= cos (x + y) : 
D n cos x = cos [x + n * (8) 
Vermöge der Periodizität nehmen die rechten Seiten der Formeln (7) 
und (8) nur je vier verschiedene Werte an, nämlich die n = 0, 1, 2, 3 
entsprechenden, und diese in zyklischer Wiederholung. 
II. Zerlegung in Teile. Hat man f(x) als Summe zweier oder 
mehrerer Funktionen dargestellt, etwa f{x) = cp (x) + ^(#), so ist (51,1) 
D n /(x) = D' l cp(x) -j- D n (#). 
L Es ist pA*? * iäGhA + AtA mith:n 
- 2a t®"( a + J ») -1 + z '*(« - M~‘]i 
auf die Ausdrücke der rechten Seite ist die Formel (2) anwendbar, und 
man findet: 
T) r ‘ 
a- — b 2 x 2 
(— l) w l • 2 • . • n ■ h r ‘ 
2 a 
( a -f- bx) 
n + 1 
i— If 
(a — bx) 
n + 1 
(9) 
Für a = 1 und l> = i ergibt sich hieraus 
D n 
(— 1)” 1 • 2 
1 + x\ 
‘ 1 • 2 • • ■ n r 1 
2* L(ic —¿) w+1 
(* + *) 
71+ 1 
Diese Formel kann dazu verwendet werden, den allgemeinen Differen 
tialquotienten von arc tg x zu bestimmen; da nämlich D arc tg x = yq^ya, 
1 
so ist D n arc tsr x = D' i_1 
1 -j- X 
,, also auf Grund der letzten Formel : 
I) n arc tg x 
C— 1) M_1 1-2 •••(»— 1) 
2 i 
î_i 
\-{x-£) n (x + 
(10)