130 Elem. der Differentialrechnung. § 5. Die höheren Differentialqnotienten usw. 
2. Es ist cos ax cos hx = ~ {cos (a + h)x -f- cos (a — h)x], mithin 
D n cos ax cos ix = cos -j- h)x F n (11) 
+ COS [(a — 6)a -f n 
III. Zerlegung in Faktoren. Die Funktion y = f(x) sei in zwei 
Faktoren u = cp (x) und v = t(x) zerlegbar, für welche der allgemeine 
Ausdruck des rten Diiferentialquotienten bekannt ist. Durch sukzessive 
Differentiation ergibt sich: 
y = u' v + uv' 
y" = u" v + 2u v + uv" 
y = u v + du v + 6u v -f uv ; 
woraus der Schluß gezogen werden kann, daß 
yi n ) = u( n )v -f u( n ~V v -f- u( n ~^v" + • • • + (12) 
in der Tat, gilt diese Formel für n, so gilt sie auch für n + 1, denn 
eine neuerliche Differentiation gibt 
?/” + D = u( n + % -f u^v -f- -f- • • • -f- uv^ 
-f- i&^v + u^ n ~^v" ■+••• + u vW + uv( n + 1 ' ) , 
und weil allgemein 80 ^ 
y(n+l) __ u {n+ \) v _J_ U {n) v ' U {n - 1) v " _[_ . . . + 
da nun das Bildungsgesetz auf direktem Wege für n = 1, 2, 3 erwiesen 
ist, so gilt es allgemein. Die Gleichung (12), unter dem Namen der 
Leibnizschen Formel bekannt, läßt eine kurze symbolische Dar 
stellung zu; schreibt man nämlich 
D n (uv) = (u + v) n , (12*) 
so bleibt nur zu beachten, daß man in den Gliedern der Potenzent 
wicklung die Potenzexponenten in Ordnungsexponenten von Differential 
quotienten zu verwandeln und die Endglieder u n v° und u°v n durch 
a^v, bzw. uvW zu ersetzen hat. 
Als Beispiel der Anwendung der Formel (12) möge dieselbe 
Funktion gewählt werden, welche in II. 2. als Summe dargestellt 
worden ist, nämlich cos ax cos hx, man erhält unmittelbar