Höhere Different]a]e. Bedeutung der Konstanz von dx. 133 
und so fortfahrend allgemein für das wte Differential den Ausdruck: 
d n f(x) — f(”\x)dx n . (4) 
Daraus ergibt sich die von Leibniz eingeführte Bezeichnung für den 
nten Differentialquotienten: 
! d n f{x) 
dx n 
oder 
d "y. 
dx n% 
Jeder Formel zwischen den Differentialquotienten mehrerer Funk 
tionen einer Variablen x läßt sich eine Formel zwischen den Differen 
tialen zuordnen, und es bedarf, um zu der letzteren zu gelangen, nur 
der Multiplikation der ersteren mit einer entsprechend hohen Potenz 
des Differentials dx der Variablen; so folgt aus 
S I) x {cp(x)ip (x)} = cp' (x) ip (x) -1- cp (x) cp' (x) 
cp ix) _ cp' (x) xp (x) — cp{x)xp'{x) 
x Xp{x) Xp(x) 2 
durch Multiplikation mit dx: 
d {cp {x) cp (x)} = xp(x) • dcp(x) -f cp ix) ■ dxp(x) 
cp ix) xp(x) ■ dcp(x) — cp {x) ■ dxpix)' 
( lp(x) 1p(x) s ’ 
aus (76, III.) 
D n (tiv) = u^v + ^ + (2) u< ' n ~ ^ v " + • • ’ + uv(w) 
durch Multiplikation mit dx n : 
d n (uv) = d n u ■ v -f Qj d n ~ 1 u • dv -f {^jd n ~ 2 u • d 2 v -f • • • + ud n v. 
78. Die Konstanz des Differentials der unabhängigen 
Variablen. Die Formeln des vorstehenden Artikels sind unter der 
Annahme eines feststehenden, also konstanten dx abgeleitet worden. Der 
Sinn und die weittragende Bedeutung dieser von Leibniz schon bei 
der Begründung der Differentialrechnung getroffenen Annahme er 
fordern ein näheres Eingehen, weil davon ein tieferes Verständnis des 
Rechnens mit Differentialen abhängt. 
Bei dem Differenzieren, gleichgiltig, ob darunter die Bildung von 
Differentialquotienten oder von Differentialen verstanden wird, werden 
verschiedene Funktionswerte und die zugehörigen Werte der Variablen 
zueinander in Beziehung gesetzt. 
Bei der Bildung der ersten Ableitung einer Funktion /{x) kommt 
es darauf an, die Differenzen benachbarter Funktionswerte mit den 
Differenzen der zugehörigen Argumentwerte ins Verhältnis zu setzen 
und die Grenze dieses Verhältnisses bei unbegrenzter Annäherung zu 
bestimmen. Man kann sich diesen Vorgang in allgemeinster Weise 
wie folgt ausgeführt denken.