134 Elem. der Differentialrechnung. § 5. Die höheren Differentialquotienten usw. 
Jeder Punkt x des Bereichs der Variablen geht in einen neuen 
x -f- dx, über, wobei dx eine von x abhängige Größe von der Form 
dx = (5) 
sein möge; geometrisch gesprochen wird die x-Achse in sich selbst 
transformiert, wobei jeder der Punkte F, P 17 P 2 , • • • in einen be 
stimmten andern F', Pi, P'%, • • • übergeht, 
Fig. 35. Auf die solcherart einander zu 
geordneten Punkte wird die Bildung der 
Differenzenquotienten gestützt und hierauf 
durch den Grenzprozeß lim a = 0 der Über 
gang zu den Differentialquotienten herhei- 
geführt; a ist also hinterher eine Infinitesi 
malgröße, deren Ordnung mit 1 festgesetzt 
werden soll. Kommt es bei diesem Vor 
gänge auf die Funktion y(x) gar nicht an, so steht die Sache anders, 
wenn man zur Bildung der Differentiale schreitet: in diese geht %(x) 
als Faktor ein. Die Bildung der höheren Differentiale gestaltet sich 
aber nunmehr wie folgt; Aus 
dy = y dx 
ergibt sich sukzessive 
d 2 y = y" dx 2 -f- y'd 2 x 
d 3 y = y"'dx 3 + 3y"dx d 2 x -f y d 3 x, 
und aus (5) erhält man zur eudgiltigen Ausführung dieser Formeln: 
d?x = odyjf 
d 3 x = a s \x% 2 + 
(6) 
(7) 
Man erkennt, daß dx, d 2 x, d 3 x, • • • und wegen (6) ebenso dy, cl 2 y, 
d 3 y, ■ ■ • infinitesimale Größen 1, 2, 3, • • • Ordnung werden. 
Aus jeder Annahme über %(x) ergäbe sich so eine besondere 
Differentialrechnung. Die einfachste Annahme ist y(x)=l-, aus ihr 
folgt ein von x unabhängiges dx, und Aveiter, da alle Ableitungen von 
y(x) dann Null sind, 
d 2 x = d 3 x = • ■ • = 0, (8) 
wodurch d 2 y, d 3 y, • • • d n y die einfachen Aus 
drücke des vorigen Artikels annehmen. 
Geometrisch bedeutet diese Annahme 
so viel, daß als Transformation der a;-Achse 
ihre Translation in sich gewählt Avird, wo 
bei jeder ihrer Punkte um dieselbe Strecke 
verschoben wird, Fig. 36. Auch der darauf 
folgende Greuzübergang besteht in einer 
Y