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142 Anwendungen der Differentialquotienten. § 1. Unbestimmte Formen. 
4. Auf die Funktion fix) = ® + cosa; 4 eren Zähler und Nenner 
bei lim#= oo unendlich werden, ist das Verfahren nicht anwendbar, 
weil die Ableitung des Nenners, 1 — cos#, niemals aufhört Null zu 
werden; es zeigt sich dies auch darin, daß der Quotient der Ab 
leitungen, 1 — x - , für lim x = oo (oder — oo) keiner bestimmten 
1 COS cc 
Grenze zustrebt, vielmehr niemals auf hört, zwischen 0 und -f- oo zu 
schwanken. Trotzdem konvergiert die Funktion gegen eine bestimmte 
Grenze, nämlich 1, wie unmittelbar ersichtlich ist. 
81. Die Form 0 • oo entsteht, wenn bei einem bestimmten Grenz- 
übergange lim x = a in /(x) = g)(x)if>{x) der eine Faktor, z. B. cp(x), 
gegen Null konvergiert, während der andere gleichzeitig unendlich wird. 
Man führt diese Form auf eine der früheren zurück, indem man 
das Produkt in der Gestalt eines der Quotienten v ^ schreibt 
l/}(x) cp {x) 7 
worauf die früheren Sätze und Methoden angewendet werden können, 
sofern die hierzu erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind. 
Beispiele. l.f(x) = x m (lx) n nimmt bei lim x = -f- 0 die Form 0- oo 
an, wenn m, n positiv sind; bezüglich n werde noch vorausgesetzt, 
daß es so beschaffen ist, daß (lx) n bei dem Grenzübergange reell bleibt. 
(lx) n 
Schreibt man die Funktionen in der Form - —, so tritt der Fall 80 
ein, man hat also 
lim fix) = lim 
x = + 0 
n(Jx) n ~ 1 x~ 1 
-lim 
m 
in 
y 
die Form besteht weiter, wenn n > 1. Ist n eine ganze Zahl, so 
ergibt sich nach w-maliger Wiederholung des Prozesses 
lim fix) 
x= +0 
(-1 ) n n\y 
-—-— lim x r ‘ 
0; 
liegt hingegen n zwischen zwei ganzen Zahlen p und p -f 1, so hat 
man nach p + 1-maliger Wiederholung 
(— l'f + 1 n{n — 1) • • ■ {n—p) 
lim fix) — 
„P + 1 
lim _ 0, 
weil ——-r— ein Bruch ist, dessen Zähler gegen Null konvergiert 
{Ixf* 1 - 71 
und dessen Nenner unbegrenzt wächst. 
Man kann den vorliegenden Fall übrigens durch die Substitution 
X — e~ z auf einen früheren zurückführen; es wird nämlich 
/0) = 
(— ifz 11 (—1)” (mz) n 
,mz f 
m