Die Formen 0 • oo und oo — oo. 
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und da lim x — + 0 zur Folge hat lim mz = oo, so ist mit Berufung 
auf 80, 1: 
lim f{x) = ( "'lim = 0. 
a; = +0 
Wi mz = <x> 6 
2. f{x) = — l), 
worin a > 0, erlangt sowohl für lim a? == oo 
als auch für lim x =— oo die Form oo-0; schreibt man dafür 
i 
a x — 1 
, und setzt — 
l x 
z, so wird 
/(*)-— 
und nimmt für lim z = 0 die Form an; man hat also nach 79: 
z j Z 7 
i. i' / \ i • il 1 i • d L CL 
lim fix) — hm = lim —— = La. 
x = oo z = 0 % 
82. Die Form oo — oo tritt hei f{x) = cp (x) — i>(x) ein, wenn 
hei einem bestimmten Grenzübergange lim x = a Minuend und Sub 
trahend gleichzeitig gegen oo oder — oo konvergieren. 
Man kann nun von der Differenz auf verschiedene Weise auf einen 
Quotienten übergehen, der dann eine der Formen ° () -, ^ annimmt; so 
kann /(x) umgestaltet werden in 
ip{x)' 
<p(x)' 
1p (X) 1 qp (a?) 1 Tp (x) 
(fix)- 1 7 e (p 
und man hat es im ersten und dritten Falle mit ---, im zweiten mit 
oo 
zu tun. 
Beispiele. 1. /(x) = sin * ^ ist bei x = 0 nicht definiert und 
nimmt für lim x = 0 die Form oo — oo an, in der Gestalt /(x) = 
XX aber die Form an; man hat also 
ar sm 2 * n 7 
lim /(x) — lim 
x = 0 
0 
2x — sin 2 a? 
= lim —— 
== lim 
2x sin 2 a? + x2 g i n 
4 sin 2 X 
lim 
2 — 2 cos 2 a? 
2 sin 2 a? -f- 4a? sin 2a? -|- 2a; 2 cos 2a; 
6 sin 2a; -j- 12a; cos 2a? — 4a? 2 sin 2a? 
8 cos 2 a; 
24 cos 2a; — 32a? sin 2a; — 8a? 2 cos 2a; 8 
2. f{x) = ~2 “ cotg 2 a?, das bei lim x = 0 in unbestimmter Form 
erscheint, kann umgestaltet werden wie folgt: