144 Anwendungen der Differentialquotienten. § 1. Unbestimmte Formen, 
/0*0 
sm-# — x“ cos-# 
# 2 sin 2 # 
sin x x cos # sin # — # cos # # 2 
sin 2 # 
# 
#° 
/ sin # , \ sin # — # cos # 
l~^ + cosx D 
Í---U 
\sin#/ 7 
# / #° 
der erste Faktor konvergiert gegen 2, der dritte gegen 1; der mittlere, 
der die Form — zeigt, gegen die Grenze -^-(79); folglich ist 
lim f{x) 
* = 0 
3. f{x) = x — ]/(x — a) (x — h), worin die Wurzel positiv zu 
nehmen ist, nimmt für lim x = oo die Form oo — oo an, geht aber 
durch die Substitution x = — über in 
z 
1 — Yll — az)(l — hz) 
das für lim z = + 0 die Form — erlangt; mithin ist 
lim f{x) = lim a(1 ~ hz) + &(1 —^ 
x = co z= -f- 0 2|/(1 — a z) (1 — h z) 
a -(- & 
2 
Der Fall läßt sich indessen durch algebraische Umgestaltung 
elementar erledigen; es ist nämlich auch 
, , _ cdb 
rr n #* — (# — a) (x — b) («-}-&)# — ab a ' # 
# +]/(# — «)(# — 6) # +]/(# — «) (# — b) 1 fi _ ^ _ _y 
woran der Grenzübergang lim x = oo unmittelbar ausgeführt werden 
kann. 
4. y(a?) = cos xl siua; — l tg~ zeigt bei lim x = + 0 die Form 
oo — oo, läßt sich aber wie folgt um gestalten: 
cos xl (2 sin ~ cos X ) — l sin ~ + I cos-^- 
\ 2 2/ 2 1 2 
= cos x-12 — (1 — cos#)? sin y + (1 -f- cosx)l cos ~ ; 
das erste Glied konvergiert gegen Z2; das zweite gegen Null, weil es 
in die Form 
gebracht werden kann (80, 2.); das dritte gegen 0; 
folglich ist 
lim f{x) = 12. 
x = + 0