Die Formen 0°, oo°, l 30 . 
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83. Die Formen 0°, oo°, 1°° entspringen aus einer Funktion 
des Baues f{x) = cp(x)^^ x \ wenn bei einem bestimmten Grenzüber- 
gange lim x = a gleichzeitig 
lim cp (x) = 0, lim ipix) = 0 
lim cp (x) = oo, lim il>{x) = 0 
lim cp{x) = 1, lim il>{x) = oo (oder — oo) 
oder 
oder 
wird; damit eine solche Funktion wohl definiert sei, ist noch erforder 
lich, daß <p(x) > 0 sei. 
Schreibt man f{x) in der Form einer natürlichen Potenz: 
f(x) — ^ u p^ } 
so nimmt der Exponent in allen drei Fällen die Form 0-oo an. 
Hierdurch ist die vorliegende Aufgabe auf den Fall 81 zurückgeführt. 
Beispiele. 1. /{x) = xf erscheint bei lim x == + 0 in der Form 0°; 
schreibt man dafür e? lx und beachtet, daß der Exponent gegen 0 kon 
vergiert (81, 1.), so ergibt sich 
lim f{x) = 1. 
x— +0 
2. f(x) = (tg x) cosx nimmt bei lim x = ^ — 0 die Form oo° an; 
schreibt man f{x) = e cos xl tgx , so zeigt der Exponent, in der Gestalt 
x offischrieben. die Form —. und sein Grenzwert ist 
daher hat man 
lim /{x) = 1. 
3. Für lim z = oo und ein beliebiges, aber bestimmtes x erlangt 
i 
Form l 00 . Bringt man es in die Gestalte 3 und er- 
mittelt 
T + Tj 
lim = lim 
x 
2~ 
= lim 
x 
X 
Z — GC 
Z 
so kommt man zu der wichtigen Formel 
lim (l + fV = e, 
Z= X ' ^ ' 
die eine Erweiterung der Formel 47, (14) bildet. 
0zuber, Höhere Mathematik. 
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