Merkmale für Maxima und Minima.
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gekennzeichnete Verhalten von ff), das zu
ff — h)< ff) < ff -f h)
führt und zeigt, daß ff) in der Umgebung von a wachsend ist;
folglich ist ff) > 0 oder = 0.
Sieht man also von dem Falle ff) = 0, der noch keine Ent
scheidung bringt, ab, so kann als zweite Regel ausgesprochen werden:
„ Wenn an der ans ff) = 0 berechneten Stelle x = a f"{a) < 0 ist,
so ist ff) ein Maximum, hingegen ein Minimum, wenn ff) > 0 ist.
Es steht fest, daß /\x) in der Umgebung der Stelle eines Maxi
mums abnehmend, in der Umgebung der Stelle eines Minimums
wachsend ist; wenn dabei ff) = 0 ausfällt, so zeigt ff) in der
Umgebung des Maximums folgendes Verhalten:
ff-h)< 0, /» = 0, ff + h)< 0,
so daß f\a — h) < /"(<a) > ff -f- h),
in der Umgebung des Minimums das Verhalten
so daß
ff — h)> 0, ff) = 0, ff -f h) > 0,
so daß f'i a — h))> ff) < /"(a + h) ;
es ist also im ersten Falle f'ia) selbst ein Maximum, im zweiten
Falle ein Minimum von ff), infolgedessen f'ia) = 0 und _/ lv (a),
wenn es nicht verschwindet, negativ, bzw. positiv.
Daraus ergibt sich die weiter tragende Regel: Wenn an der Stelle
x = a, die aus ff) = 0 berechnet worden, ff) verschwindet, so kann
ff) einen extremen Wert daselbst nur dann erlangen, wenn auch
f'ia) =r 0 ist] die Entscheidung ist dann endgiltig möglich, wenn
f Y (a) 4= 0, und zwar ist ff) ein Maximum oder Minimum, je nach
dem f'ia) < 0 oder > 0 ist.
88. Allgemeines Kriterium. Um ein alle Möglichkeiten um
fassendes Kriterium zu gewinnen, setzen wir voraus, es sei außer
ff) = 0 auch ff) = 0, f'f) = 0, .... f n ~ 1 \a) = 0, hingegen
ff) =)= 0. Die mittels ff) gebildete Funktion
fW —fia)
(x — a) n 7
{n eine positive ganze Zahl)
zeigt dann bei lim x = a die unbestimmte Form die bei Anwendung
des in 79 entwickelten Verfahrens auch nach n— 1 maliger Differen
tiation von Zähler und Nenner noch anhält, so daß auch
limfc/W . lim _ /-V)
( rr> /1/1 ( /1/1 i \ O (,
x — a {x — a) n n(n — 1) ■ • • 2 (te — a)
noch nicht zur endgiltigen Bestimmung des Grenzwertes führt; da aber
x — ffl
x — a
