152 Anwendungen der Differentialquotienten. § 2. Maxima und Minima usw. 
und der Ausdruck (/3) — 4#; er ist für x = — 1 positiv, für x = 1 
negativ; folglich ist 
/{— 1) = * ein Minimum, /(1) == 3 ein Maximum. 
5. Die Zahl a ist in zwei Teile zu zerlegen derart, daß das Pro 
dukt dieser Teile den größtmöglichen Wert annehme. 
Ist der eine Teil x, so ist a — x der andere, und es handelt sich 
um das Maximum von 
/(x) — x(a — x). 
Aus /' (x) — a — 2x — 0 folgt x = * , und da f"{x) = — 2 negativ 
ist, so ist tatsächlich 
der größtmögliche Wert des Produktes. 
Auf diesen einfachen Fall lassen sich mancherlei Probleme zurück 
führen; als Beleg dafür mögen die folgenden dienen. 
a) Unter den Rechtecken von gegebenem Umfange 2a jenes von 
der größten Fläche zu bestimmen. 
Heißt eine Seite des Rechtecks x, so ist a — x die andere; es 
soll also x{a — x) ein Maximum werden. Das verlangte Rechteck 
ist demnach das Quadrat. 
ß) Unter den einem gegebenen Kreise vom Durchmesser a ein 
geschriebenen Rechtecken dasjenige von der größten Fläche aufzu 
suchen. 
Ist x die eine Seite des Rechtecks, so ist das Quadrat der anderen 
a 2 — x 2 , #]/a 2 — x 2 die Fläche; ihr Quadrat x 2 (a 2 — # 2 ) wird ein Maxi- 
mum für x 2 = y, die Fläche selbst ist dann ebenfalls ein Maximum 
= — und der Gestalt nach ein Quadrat, weil x — Va 2 — x 2 = —-• 
2 }/ 2 
y) Den Elevationswinkel bei dem schiefen Wurf zu bestimmen, 
bei welchem sich die größte Wurfweite einstellt. 
Heißt c die Wurfgeschwindigkeit, g die Beschleunigung der 
Schwerkraft und x der Elevationswinkel, so ist 2c sin x cosx ¿j e w ur f- 
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weite; sie wird zu einem Maximum, wenn sin# cos# oder sin 2 # cos 2 # 
= sin 2 #(l — sin 2 #) seinen größten Wert erlangt; dies aber geschieht 
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für sin 2 # = —, also für # = - r , d. i. bei einem Winkel von 45°. 
d) Die Höhenlage der Öffnung in der Seitenwand eines bis zu 
einer gewissen Höhe mit Flüssigkeit gefüllten Gefäßes zu bestimmen, 
bei welcher die Ausflußweite am größten ist. 
Bedeutet h die Tiefe der horizontalen Grundebene und # die 
Tiefe der Öffnung unter dem Flüssigkeitsspiegel, so ist die Ausfluß