Beispiele von Extremwerten. 
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weite 2 y x(h — x)\ sie wird am größten, wenn x(h~ x) ein Maximum 
erreicht, und dieses tritt für x — ^ ein. Die Ausflußweite selbst ist 
dann x = Ji. 
s) Einem Dreieck ein Rechteck derart einzuschreiben, daß eine 
Seite des Rechtecks in die Basis des Dreiecks fällt und seine Fläche 
möglichst groß wird. 
Bezeichnet man mit c, h Basis und Höhe des Dreiecks und mit 
x den Abstand der gegenüberliegenden Rechtecksseite yon der Spitze, 
so drückt sich die Rechtecksfläche durch ~ x(Ji — #) aus, wird also 
ein Maximum, wenn x = ^ ist. 
6. Einer Kugel einen Kegel von maximalem Volumen einzu 
schreiben. 
Ist r der Radius der Kugel und x der Abstand ihres Mittel 
punktes von der Kegelbasis, so hat das Volumen des Kegels den 
Ausdruck 
v = y (r 2 — x 2 ) (r -f x). 
Der variable Teil, (r 2 —x 2 ) (r -f- x), erlangt ein Maximum, wenn 
r 2 — 2rx — 3af — 0, 
d. h. wenn x = y’i f he andere Wurzel, x = — r, führt auf einen be 
langlosen Grenzfall. Es ist demnach max« = ~)' 3 , d. i. ^ vom 
Inhalt der Kugel. 
7. Einer Kugel einen Kegel von maximaler Mantelfläche einzu 
schreiben. 
Mit Beibehaltung der vorigen Bezeichnungen ist die Mantelfläche 
M = % ]/2r(r 2 — x 2 )(r -f- x). 
Hiernach hat derselbe Kegel, dessen Volumen ein Maximum, auch die 
größte Mantelfläche; max M = 8 J* r 2 ]/3 . 
8. Aus einer Kreisscheibe einen Sektor so auszuschneiden, daß 
der aus dem Rest der Scheibe geformte Trichter einen möglichst 
großen Fassungsraum besitze. 
Bezeichnet r den Radius der Scheibe, x das Bogenmaß des Zentri 
winkels des restlichen Sektors, so ist das Volumen des kegelförmigen 
Trichters 
1t 9 /rx\ 2 7tr S [ X \ 2 -| / X \ 2 
V r uw - dd y x -(d • 
Setzt man = y, so handelt es sich um das Maximum von y ]/1 — y