156 Anwendungen der Differentialqnotienten. § 2. Maxima und Minima usw. 
kalen) Ellipsen, welche mit der Geraden XX' reelle Punkte gemein 
hat, ist diejenige, welche sie berührt; der Berührungspunkt bestimmt 
die Lösung der Aufgabe und hat nach einer bekannten Eigenschaft 
der Ellipsentangente eine solche Lage, daß X PA = XPB. 
11. Es sind zwei Punkte Ä, B und eine sie trennende Ebene MM' 
gegeben (Fig. 38). Man soll den Weg von A nach B bestimmen, 
K A at welchen ein Bewegliches in der kürzesten 
Zeit zurücklegt, wenn es sich von A bis 
~M7 zur Ebene mit der Geschwindigkeit u und 
von da ab bis B mit der Geschwindigkeit v 
bewegt. 
Der Weg wird sich notwendig aus zwei 
geradlinigen Strecken zusammensetzen und be 
stimmt sein, sobald man den Punkt P der 
Ebene kennt, über welchen er führt. Von diesem läßt sich ferner 
erweisen, daß er in die Verbindungslinie der orthogonalen Projektionen 
Ä, B' von A, B auf MM' falle, daß der Weg selbst also in der 
durch A, B zu MAI' gelegten Normalebene verlaufe. Denn zu einem 
Wege wie AQB, der über einen Punkt Q außer A'B' führt, läßt sich 
immer ein Weg finden, der in kürzerer Zeit zurückgelegt wird als 
AQB-, man braucht nur QP senkrecht zu AB' zu ziehen, und er 
kennt sogleich, daß AP < AQ, BP < BQ, daß also auch APB in 
kürzerer Zeit zurückgelegt wird als AQB. 
Ist AA'= a, BB==l>, A'B'—c, A'P — x, so ist die für den 
Weg APB erforderliche Zeit 
j, Ya 2 -1- o? 2 , ]/fr 2 -|-(c — x) 2 
t = 7, I 7 ; 
und ihr kleinster Wert ergibt sich, wenn P so gewählt wird, daß 
dt x c — x ^ 
d x uYa 2 -f-äs 2 r)/& 2 -)-(c — x) 2 7 
oder in den Linien der Figur ausgedrückt, daß 
l AP 1 PIT m 
u AP v BP’ 
bezeichnet man also die Winkel, welche die Wegteile AP und BP 
mit dem Lote zur Ebene einschließen, mit a, ß, so ist der verlangte 
Weg durch die Beziehung 
sin u u 
sin ß v 
gekennzeichnet, wonach das Sinusverhältnis der genannten Winkel 
gleich sein muß dem analog gebildeten Verhältnis der Geschwindig 
keiten.