Einteilung der Permutationen. 159 
Element in Gruppen; da in jeder dieser n Gruppen jeweilen die n — 1 
übrigen Elemente auf alle Arten permutiert sind, so ist F n = n -^n — V 
und da weiters P 1 = 1 ist, so findet man P n = 1 • 2 • • • n = n\. 
Dadurch, daß man die Elemente mit Nummern oder Buchstaben 
bezeichnet, erteilt man ihnen einen Bang. 
Zwei Elemente einer Permutation stehen in der natürlichen Ord 
nung, w T enn das höhere dem niederen nachfolgt; im andern Falle bilden 
sie eine Inversion. 
Diejenige Permutation, in der alle Elementenpaare in der natür 
lichen Ordnung stehen, heißt die niedrigste. Jede andere Permutation 
enthält Inversionen. Deren größte Zahl befindet sich in der höchsten 
Permutation, welche die Umkehrung der niedrigsten ist; da hier jedes 
Element mit jedem nachfolgenden in Inversion steht, so ist die Anzahl 
der Inversionen ~ n(n—V). 
Die Permutationen der n Elemente lassen sich in Paare von Per 
mutationen zusammenstellen, deren eine die Umkehrung der andern 
ist. Da in einem solchen Permutationspaar jedes Elementenpaar ein 
mal in Inversion steht, so kommen darin ebenso viele Inversionen 
vor als in der niedrigsten und höchsten Permutation zusammen, näm 
lich * n i n — !)• Folglich enthalten alle P n Permutationen zusammen 
P n 
n{n — 1) Inversionen. 
So sind beispielsweise in den 24 Permutationen von 4 Elementen 
72, in den 120 Permutationen von 5 Elementen 600 Inversionen zu 
zählen. 
Nach der Anzahl der in ihnen vorkommenden Inversionen können 
die Permutationen einer Elementenreihe in zwei Klassen geschieden 
werden, indem man in der einen Klasse die Permutationen mit einer 
geraden Anzahl von Inversionen und in der andern jene mit einer 
ungeraden Anzahl von Inversionen vereinigt; man spricht kurz von 
geraden und ungeraden Permutationen. 
Die Permutation 
hecda 
der Elemente ahcde gehört zu den geraden, weil ihre Elemente der 
Reihe nach 1, 3, 1, 1 zusammen 6 Inversionen mit den folgenden 
bilden; hingegen gehört die Permutation 
641532 
der Elemente 1 23 45 6 zu den ungeraden, weil ihre Elemente der 
Reihe nach zu 5, 3, 0, 2, 1, also zu 11 nachfolgenden Elementen in 
Inversion stehen. 
92. Der Satz von Bezout. Die Vertauschung zweier Elemente 
in einer Permutation nennt man eine Transposition. Alle Permutationen