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Determinanten. § 1. Über Permutationen. 
einer Elementenreihe lassen sich aus einer von ihnen durch sukzessive 
Transpositionen herstellen. Für die Klassenzugehörigkeit ist der fol 
gende Satz von maßgebender Bedeutung: 
Wenn man in einer Permutation eine Transposition ausführt, so 
ändert sich die Anzahl der Inversionen um eine ungerade Zahl; infolge 
dessen geht dadurch die Permutation aus einer Klasse in die andere über. 
Sind i, Je zwei Elemente, A, B zwei Elementengrappen, und 
transponiert man in der Permutation 
AiJeB 
die Elemente i, Je, wodurch sie in 
AJciB 
übergeht, so tritt eine neue Inversion hinzu oder geht eine verloren, 
je nachdem i, Je in der natürlichen Ordnung sind oder nicht. 
Sind die zu transponierenden Elemente nicht benachbart, sondern 
durch eine m-gliedrige Gruppe C getrennt, so gehe man von 
AiCJeB 
zu 
davon zu 
und schließlich zu 
ACiJeB, 
ACJeiB 
AJeCiB 
über; dazu sind 2m -f- 1 Transpositionen benacJibarter Elemente er 
forderlich, folglich ändert sich die Anzahl der Inversionen eine un 
gerade Anzahl male um 1, unterscheidet sich also tatsächlich um eine 
ungerade Zahl von ihrem ursprünglichen Wert. 
Beispielsweise enthält die Permutation 
beeda 
sechs Inversionen, die Perrautation 
deeba, 
die aus ihr durch Transposition der Elemente b, d hervorgeht, deren 9. 
Da zu jeder Permutation von n Elementen eine andere gehört, 
die aus ihr durch Transposition zweier Elemente entstanden ist, so 
ist die eine Hälfte aller Permutationen gerad, die andere ungerad. 
93. Zyklische Fermutationen. Schreibt man die n Elemente 
1, 2, • • • n in einer bestimmten Umlaufsrichtung an 
den Umfang eines Kreises, Fig. 41, so heißt jede An 
ordnung, in der sie in eben dieser Richtung gelesen 
werden können, eine zyJelische Permutation von 1, 
2, • • • n. 
Die erste zyklische Permutation heißt also 
2 3 • • • n 1 
Fig. 41.