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Determinanten. § 2. Definition der Determinante. 
a x 
\ • 
a 1 
a 2 • 
• • a n 
«2 
\ • 
■■h 
h • 
■■K 
K • ■ 
■ ' Kn 
\ 
h-2 • ■ 
■ • K 
Zur Darstellung (1) zurückkehrend wollen wir sagen, die Matrix 
sei rechteckig, wenn m =f= n, und sie sei quadratisch, wenn m = n. Der 
Typus einer quadratischen w-zeiligen oder w-reihigen Matrix oder einer 
Matrix von w 2 Elementen ist: 
a n 
a 12 • 
• • a ln 
a 21 
Ct 2 2 * 
■ ■ a 2n 
(2) 
a nl 
a n2 • ’ 
■ a nn• 
Wenn man in dem Produkte der auf der Hauptdiagonale stehenden 
Elemente ... 
a il a 22 ' ‘ " a nn (3) 
die ziveiten Zeiger auf alle möglichen Arten permutiert und jedem so 
enstandenen Produkt 
a ia i a ‘2a. 1 
(4) 
das Zeichen + oder das Zeichen — vorsetzt, jenachdem die Permutation 
«i u 2 ■ • • u n gerad oder ungerad ist, so heißt die Summe dieser Prodtdde 
die Determinante der Matrix (2). 
Vermöge dieser Definition sind die Produkte der Matrix derart 
gebildet, daß keine zwei Faktoren aus einer und derselben Reihe (Zeile 
oder Kolonne) stammen. 
Vertauscht man die Faktoren in (4) so untereinander, daß die 
zweiten Zeiger wieder in die natürliche Ordnung kommen, so bilden 
in dem umgestalteten Produkt 
a ^ a ri2 • ‘ • a ß n n 
die ersten Zeiger eine Permutation ß t ß 2 • ■ • ß n , die zur selben Klasse 
gehört wie a x cc 2 •••«„; denn ß x ß 2 ■ • • ß n ist aus 1 2 • • • n durch eben- 
soviele Transpositionen entstanden, als nötig waren, um aus cq a 2 • • • cc n 
die Form 1 2 • • • n zu erzeugen. 
Demnach kann die obige Definition auch so formuliert werden, 
daß sich die Permutierung auf die ersten Zeiger bezieht, während die 
zweiten in ihrer natürlichen Ordnung belassen werden. 
Das Glied (3), aus dem hiernach alle andern Glieder abgeleitet 
werden, heißt das Hauptglied der Determinante. 
95. Struktur und Bezeichnung der Determinanten. Aus 
der Definition geht hervor, daß eine «-reihige Determinante in einer 
Summe von n \ Gliedern besteht, deren jedes ein Produkt von n Faktoren