Entwicklung und Haupteigensckaften der Determinanten. 
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98. Vertauschung paralleler Reihen. Wenn man in einer 
Determinante zwei parallele Reihen mit einander vertauscht, so ändert 
der Wert der Determinante bloß sein Vorzeichen. 
Transformiert man beispielsweise durch Vertauschung der ersten 
zwei Kolonnen 
»11 
»12 ‘ 
• »ln 
»12 
»11 • 
• »1 „ 
= 
»21 
»22 ' 
• »2« 
in R' — 
»22 
»21 
• »2« 
»«1 
»n2 ’ 
•»*» 
»«2 
»«1 ’ 
•»», 
so erscheint das additiv zu setzende Hauptglied a 12 a 21 a 33 • • • a nn von 
R' in R als subtraktives Glied, entstanden aus a n a 22 a 3B ■ ■ • a nn durch 
Vertauschung der ersten zwei Kolonnenzeiger; dies hat zur Folge, daß 
jedes Glied von R' mit entgegengesetztem Zeichen in R vorkommt; 
es ist also tatsächlich R' — — R. 
Wenn man daher in einer Determinante Zeilen und Kolonnen in 
irgendeiner Weise umstellt, so ändert sie ihren absoluten Wert nicht; 
nur das Vorzeichen kann sich ändern. 
Ob das letztere geschieht, hängt von der Anzahl der Transpo 
sitionen ab, die man mit den Zeilen und Kolonnen bei der Umstellung 
vorgenommen hat, in letzter Linie also von den Klassen ab, denen 
die Permutationen der Zeilen- und Kolonnenzeiger in der neuen Form 
angeboren. Gehören beide Permutationen zu derselben Klasse, so 
bleibt auch das Vorzeichen erhalten; gehören sie zu verschiedenen 
Klassen, so ändert sich das Vorzeichen; denn im ersten Falle kann 
die Umstellung durch eine gerade Anzahl von Transpositionen, im 
zweiten Falle durch eine ungerade Anzahl erzielt werden. Bringt man 
beispielsweise in der Determinante 
a t h 1 c x d x 
j ) _ »2 b 2 c 2 d. 2 
a B b B c B d B 
« 4 b A c i d 4 
die Kolonnen in die Reihenfolge cadb, die Zeilen in die Reihenfolge 
3 2 4 .1, so geht sie über in 
c 3 a B d B & 3 
c 2 a 2 d 2 &2 
c 4 «4 d x & 4 
c x a x d x b x 
und es ist R' = — R, weil cadb eine ungerade, 3241 eine gerade 
Permntation ist, 
99. G-leiche parallele Reihen. Wenn in einer Determinante 
zwei parallele Reihen übereinstimmen, so hat sie den Wert Null.