Sätze von Jacobi. — Multiplikationstheorem. 
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besteht im allgemeinen ans (w!) 2 Gliedern, also schon bei zwei Deter 
minanten 3. Grades aus 36, bei zwei Determinanten 4. Grades aus 
576 Gliedern, und die Gliederzahl wächst mit dem Grade außer 
ordentlich rasch. Bei dieser Komplikation bedeutet nun der folgende 
Satz eine wesentliche Vereinfachung: 
Das Produkt zweier Determinanten n-ten Grades läßt sich wieder 
als Determinante n-ten Grades dar stellen. 
Zunächst ist eine Darstellung des Produkts durch eine Deter 
minante 2n-ten Grades mit Hilfe des ersten Jacobischen Satzes ohne 
weiteres möglich, indem, neben unbegrenzt vielen andern Formen, 
a n 
«12 ’ ‘ 
• «1» 
0 
0 •• 
■ 0 
«21 
(1^2 * * 
• «2 n 
0 
0 •• 
• 0 
««i 
«.2 • • 
■ a nn 
0 
0 •• 
•0 
-1 
0 •• 
• 0 
K 
^21 ’ ■ 
•K 
0 - 
-1 •• 
• 0 
6 12 
^22 ’ ■ 
•K 
0 
0 •• 
.-1 
\n 
^2n‘ ' 
■K 
dabei ist das linke untere Feld, das mit willkürlichen Elementen 
besetzt werden könnte, so eingerichtet, daß es nun möglich wird, die 
Determinante auf den n-ten Grad zu reduzieren. Multipliziert man 
nämlich die ersten n Kolonnen der Reihe nach mit 
^11 > ^12? ' ‘ \ n 
und addiert zur w + 1-ten, hierauf mit 
^21? ^22 > ’ ‘ ’ ^2 n 
und addiert zur w-f 2-ten usw., endlich mit 
6.2, " ^nn 
und addiert zur 2w-ten Kolonne, so nimmt das Produkt AB folgende 
Form an: 
«11 «12 ■ ■ ■ a i n C n C U • ’ ' C 1 n 
«21 «22 ‘ ‘ ' °2n C 2l C 22 ' ' ' C 2 n 
«nn 1 2 ^nn 
0’ 0 0 • ..0 
0 0 0 ---o 
0 0 1 0 0 ...0 
Die neu entstandenen Elemente c ik sind Aggregate, zusammen 
gesetzt aus den Elementen von A und B nach folgendem Gesetz: 
AB = 
a m a ni 
1 0 
0 -1