184 Determinanten. § 6. Multiplikation von Determinanten. 
c n = «ii^i + a i2^i2 + • * • + a i,fiin 
C 12 = a il^21 + a !2^22 + ' • * + a inhn USW -J 
also allgemein 
C ik = a ilhl + a i2^k2 H * + a in\n\ 
man nennt diese Art der Zusammensetzung von c ik , wonach es ent 
steht, indem man gleichstellige Elemente der ¿-ten Zeile von A und 
der Ä-ten Zeile von B miteinander multipliziert und die Produkte addiert, 
die Komposition der i- ten Zeile von A mit der Ä-ten Zeile von B. 
Indem man nun in dem letzten Resultat die sämtlichen Kolonnen 
w-mal nacheinander zyklisch permutiert, wird weiter (93) 
AB = (-1)” 
C 11 
C 12 ' 
’ ' C ln 
a il a !2 ’ ' ‘ 
«1« 
C 2\ 
C 22 
’ ' C 2n 
(?2i öf'22 ‘ ‘ ‘ 
«2» 
C nl 
C n 2 ‘ 
' ‘ C nn 
a nl a n2 ■ • * 
a nn 
0 
0 • 
• •0 
1 0 • • • 
0 
0 
0 • 
• • 0 
0-1 ... 
0 
0 
0 . 
• • 0 
• O 
O 
-1 
C 11 
c 12 ■ 
■ ' C ln 
-1 o*. 
• 0 
C 21 
C 22 ' 
■ ■ C 2 n 
0-1-• 
• 0 
Cnl 
C n2 ’ 
Cnn 
0 
■ 0 
• -1 
_(-!)» 
also schließlich (nach dem zweiten Satze in 108) 
AB = 
c n 
C 12 ' 
' C in 
C 21 
C 22 ‘ 
’ C 2 n 
Cnl 
C n2 ‘ 
Cnn 
Wegen der Gleichberechtigung der Zeilen und Kolonnen kann 
das Produkt zweier Determinanten auf vier im allgemeinen voneinander 
verschiedene Arten dargestellt werden, indem man Zeilen mit Zeilen, 
Kolonnen mit Kolonnen, Zeilen mit Kolonnen und endlich Kolonnen 
mit Zeilen komponieren kann. Wendet man diese vier Modalitäten 
bespielsweise auf zwei Determinanten zweiten Grades an, so ergibt sich: 
|»r&i 
«2 \ 
<h a l + Ml a i #2 + M 2 
1 ®2 "h ^2 ßl ^2 01 2 "h ^2 /^2 
«i«i + b 1 a 2 a 1 ß 1 + \ß 2 
a 2 a x -f b 2 a 2 a 2 ß x + b 2 ß 2 
«i ßi 
a 2 ^2 
<h «1 + «2 «2 Ml + M2 
b l a 1 Ab 2 u 2 Mi + Mal 
a i ü-i + ß 2 ßl fl l a 2 + a 2 ßi \ 
"h ^2 ßi 1( 2 Ab 2 ß 2