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Gleichungen. § 1. Lineare Gleichungen. 
YIL Abschnitt. 
Gleichungen. 
§ 1. Lineare Gleichungen. 
118. Nichthomogene Gleichungen mit nichtverschwin- 
dender Determinante. Ein System von n linearen Gleichungen 
mit n Unbekannten hat die allgemeine Form; 
«11 «i + «12^2 "h ' • - + a \n X n = U \ 
«21U + »22^2 + ' • ’ + a 2n X n ~ U 2 
a ni x i -f" a n2 x 2 + • • • + a nn x n — u n 
(1) 
Es heißt nichthomogen, wenn wenigstens eines der absoluten Glieder 
U \i u 2> ' ' ' 11 n nicht Null ist. Die Koeffizienten a ik , unter welchen wir 
uns reelle Zahlen denken wollen, bilden eine quadratische Matrix, 
deren Determinante 
«11 
«12 ‘ 
• «1« 
«21 
«22 ‘ 
• «2n 
««1 
n n2 ' 
• «nn 
(2) 
als Determinante des Gleichungssystems (1) bezeichnet wird. 
Jedes Wertsystem x v x 2 , • • • x n , das die Gleichungen (1) befriedigt, 
heißt eine Wurzel oder Lösung von (1). Die zu entscheidende Frage 
geht dahin, ob und welche Lösungen das System besitzt. 
Es ist 
«11 «12 ■ 
• «1* X k • 
•«1» 
II 
«21 «22 ’ 
* «2* X k * 
' «2 n 
«nl «»2 • 
• a nk X k * 
• a nn 
addiert man zur &-ten Kolonne die übrigen, nachdem man sie folgeweise 
mit x 17 x 2 , • • • x k _ 1} x k+1 , • • • x n multipliziert hat, so entsteht mit 
Rücksicht auf (1) 
«11 «12 ' 
• u x 
"«ln 
«21 «22 ’ 
■ «2 
«2n 
II 
(*) 
«nl «n2 • 
• «« 
n 
• • «nn 
wenn man JR k als Zeichen für jene Determinante benutzt, die aus JR, 
hervorgeht, indem man die &-te Kolonne durch die absoluten Glieder 
ersetzt.