a lk a ik 4“ a 2k a 2k + ‘ ‘ ‘ ~T a n k a nk 0 
a Xk a U + a 2k a 2n + • • • + a nk a nn = 0 ? 
Nichthomogene lineare Gleichungen. 
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Ist nun R =j= 0, so ergibt sich 
_ ** 
x k B 
(* = 1, 2, • • • n) 
(4) 
als die einzige Lösung, die das System (1) besitzt. Man hat also 
den Satz: 
Das nichthomogene System (1) hat eine und nur eine Lösung, wenn 
seine Determinante nicht Null ist; jede Unbekannte stellt sich als Quo 
tient mit dieser Determinante als Nenner und einer Determinante als 
Zähler dar, die aus jener entsteht, wenn man die Koeffizienten der zu 
berechnenden Unbekannten durch die Äbsolutglieder ersetzt. 
Entwickelt man R k nach den Elementen der Zo-ten Kolonne, so 
erscheint 
R k ^1*^1 + a 2k U 2 + ’ ' ‘ + a nk U n 
als eine homogene lineare Funktion oder Form der m; mithin kann 
man auch sagen, jede Unbekannte ergebe sich als eine lineare Form 
der absoluten Glieder. 
119. Nichthomogene Gleichungen mit verschwindender 
Determinante. Ist die Determinante R des Gleichungssystems (1) 
gleich Null, hingegen R k 4= 0, so kann die Gleichung (3), d. i. 
Rx k R k , 
für ein endliches x k nicht bestehen; die Gleichungen (1) besitzen keine 
Lösung, sie stehen miteinander im Widerspruch. 
Ist jedoch neben R = 0 auch R k = 0, so verschwinden auch alle 
andern Zählerdeterminanten; denn wegen (5) hat man 
a ik u 1 + a 2k U 2 + ■ • ‘ + K nk u n — 
und wegen R = 0 nach dem Satze in 110: 
(l =(= k) 
{k = 1, 2, • ■ ■ n) 
wird also jetzt durch jeden Wert von x k befriedigt, die Lösung ist 
unbestimmt, die Gleichungen sind voneinander abhängig; denn aus 
jR = 0 folgt nach dem ersten und zweiten Hauptsatze (105, 106); 
a lk a n + a -2k a 21 +■■■•• + a nk a nX = 0 
a U a 12 "h a 2k a 22 4" ' * ' 4" a nk a n2 = ^