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Gleichungen. § 1. Lineare Gleichungen. 
fügt mau hierzu 
a lk U l + a 2k U 2 + • ' • + a nk U n — 0 
und addiert sämtliche Gleichungen, nach dem man sie der Reihe nach 
mit x x , x%, • • • x k , • ■ •x n , — 1 multipliziert hat, so ergibt sich 
i a n X X 4~ °X2 X 2 H h a \n x n — U l) 4- ( a 21 X 1 + a '22 X 2 H H~ a 2n X n ~ U 2) 4" 
• ■ • + «.iKih + V2 + • • • + a m x n - u n ) = 0. 
120. Homogene Gleichungen mit nichtverschwindender 
Determinante. Das Gleichungssystem (1) heißt homogen, wenn 
alle absoluten Glieder Null sind; es hat dann die Form 
i x i d - ^12^2 4- 
$21 4- %2 X 2 4~ 
4- n x „ = 0 
+ «2 n X n = 0 
(6) 
a nx x x 4- «„2^2 4- • • • 4- a nn x n = 0. 
Ist nun jß =f= 0 und führt man an dem Produkt Bx k dieselbe 
Umformung aus wie vorhin, so erhält man 
Ecc k = 
®12 
-0- 
• a xn 
a 21 ^22 ‘ 
. 0 • 
• a 2n 
= o, 
{k = 1, 2, 
Cl nX a n2 ' 
• 0- 
■ a nn 
eine Gleichung, der nur durch 
x k=° 
(k = X, 2, ■ ■ ■ n) 
genügt werden kann. Es gilt also der Satz: Ein System von n ho 
mogenen Gleichungen mit n Unbekannten, dessen Determinante nicht 
Null ist, hat nur die eine Lösung x x — 0, x 2 = 0, • • ■ x n = 0. 
Diese Lösung soll die triviale heißen, weil ihr Bestand unmittel 
bar zu erkennen ist. 
Soll das System neben der trivialen noch eine andere Lösung 
haben, so muß notwendig B = 0 sein. 
121. Homogene Gleichungen mit verschwindender Deter 
minante. 
I. Ist B = 0 und ist die Determinante vom Range n — 1, so daß 
mindestens eine Unterdeterminante dieses Grades nicht Null ist, so 
kann die Untersuchung in folgender Weise geführt werden. Sei 
11 
a X2 
• a Xi 
n — 1 
21 
a 22 
••«2, 
n — 1 
— a 
'n — 1, 
X a n-1,2 ’ 
•<*n 
— 1, n — 1