Beispiele. 
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und darum notwendig auch B y = 0, B z = 0 ist. Die Gleichungen 
sind nicht unabhängig von einander; man erkennt dies u. a., wenn 
man von der verdoppelten zweiten die erste subtrahiert; es ergibt 
sich die dritte. Da B vom Range 2 ist, kann man einer Unbekannten 
einen beliebigen Wert beilegen, aus zweien der Gleichungen die beiden 
andern Unbekannten rechnen; die dritte Gleichung ist durch jede so 
gefundene Lösung befriedigt. 
4. Das Gleichungssystem 
2x — 3y + 4z = 0 
x -f- 4y — 5z — 0 
3# — ly + 4Z — 0 
besitzt einzig und allein die Lösung x = 0, y = 0, z = 0, weil seine 
Determinante B =4= 0 ist (vgl. 1)., 
5. Hingegen hat das Gleichungssystem 
x + 2y -f- 3# = 0 
4# -f 6y + Qz = 0 
Ix -f Sy + 9 z = 0 
einfach-unendlich viele Lösungen, weil seine Determinante B = 0 und 
vom Range 2 ist; es bestimmt das Verhältnis 
x:y:z = 
2 3 
5 6 
3 11 
1 2 | 
1 6 4 : 
4 5 
3:6: - 3 = 1: - 2:1, 
ist also durch x = A, y = —21, z= X bei beliebigem l erfüllt. 
6. Das Gleichungssystem 
x + 2y + 3 z + 4u = 0 
5x + 6y -f 7z + = 0 
9x -f 10y -f- 11# -f- 12m = 0 
13# + 14y -f 15z + 16m = 0 
hat eine verschwindende Determinante; denn 
12 3 4 
113 1 
5 6 7 8 
5 17 1 
9 10 11 12 
9 1 11 1 
13 14 15 16 
13 1 15 1 
B ist ferner vom Range 2, weil alle Unterdeterminanten dritten Grades 
Null, hingegen die Unterdeterminanten zweiten Grades nicht Null sind. 
Es gibt deshalb zweifach-unendlich viele Lösungen, die man in folgen 
der Weise darstellen kann. Aus den ersten zwei Gleichungen folgt 
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