Anzahl der Wurzeln. — Mehrfache Wurzeln. 
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lungf. 
Funk 
faktor 
iktion 
li ist 
führt 
(9) 
Null- 
chung 
noch 
Lnsatz 
ver- 
wird 
mn x 
Null- 
Wert 
Zwei nach x geordnete Polynome sind also nur dann identisch 
gleich, wenn sie in den zu gleichen Potenzen gehörigen Koeffizienten 
ü hereinstimm en. 
Auf diesen Satz stützt sich ein vielfach angewendetes Verfahren 
der Algebra, das von Descartes unter dem Namen „Methode der 
unbestimmten Koeffizienten“ eingeführt worden ist. 
127. Mehrfache Wurzeln. Die Ableitung der Gleichung (9) 
schließt nicht aus, daß sich unter den Werten x 1} x 2 , ■ • • x n , die als 
Nullstellen der Funktionen f(x),/ x (x), ■ • • auftreten, gleiche 
befinden. Sind beispielsweise 00— 0C 2 — * J alle folgenden aber 
hiervon verschieden, so tritt der Faktor x — x x nicht einmal, sondern 
/¿-mal auf, und x x heißt dann eine k-fache Wurzel; die Gleichung (9) 
aber nimmt die Gestalt an: 
/0) = a Q (x - x x ) k {x - X i+1 ) • • • {x - x n ). (10) 
Um die Bedingungen zu finden, welche//;) erfüllen muß, um x x zur 
/¿-fachen Wurzel zu haben, entwickeln wir f{x) = /{x x -f x — x x ) nach 
Potenzen von x — X x (124): 
/(^)=/W +~y~(> 
x i) + 
/'(«D 
soll x x k-fache Wurzel sein, so muß sich von der rechten Seite der 
Faktor (x — xf) k , und kein höherer, abspalten lassen; dies tritt aber 
nur dann ein, wenn 
/(O = 0, /'(0 = 0, ••• ß k ~ x \x t ) = 0, /«(O + 0 
ist. In Worten heißt dies: Eine k-fache Nullstelle von f(x) bringt 
nicht nur diese Funktion, sondern auch ihre Ableitungen bis zur k — 1 -ten 
Ordnung einschließlich auf Null. 
Ist x x eine /¿-fache Nullstelle, so lautet also die Entwicklung 
von fix)’- 
f{x) 
(x — x x y ■ 
/ k + 1 (x t ) 
1-2 ...JfcV"' ~ 1 ' 1 1-2 (Jfc + l) 
und es ergibt sich daraus: 
(x — 0* +1 + 
1-2- 
(x—x x ) n , 
/» 
1.2... (k—1) 
;._Td x ~ x i) k 
+ 
{■■f x f x - x y + 
+ 
/"W 
1-2 ••■(«— 1) 
(x—x x ) n ' 
folglich hat /'(#) dieselbe Nullstelle nurmehr k —- 1-fach, /”(x) nur 
mehr k — 2-fach, • • • schließlich /(* -1 )(#) nurmehr einfach. 
Bestimmt man demnach den gemeinsamen Teiler von /(x) und 
/'(#), so enthält er alle Wurzelfaktoren von //), die zu mehrfachen