202 Gleichungen. § 2. Allgemeine Sätze über böb. algebraische Gleichungen. 
Wurzeln gehören, in einer um 1 niedrigeren Multiplizität •, spaltet man 
also diesen Teiler g{x), der durch das Verfahren der Ketteudiyision 
zu gewinnen ist, von /(x) ab, so hat die verbleibende Funktion 
/{xj: g (x) nurmehr einfache Nullstellen. 
128. Komplexe Wurzeln. Substituiert man in einer ganzen 
Funktion fix) (mit reellen Koeffizienten, wie hier ausdrücklich her 
vorgehoben werden soll) für x die komplexe Zahl a -f- ßi, vollführt 
die angezeigten Operationen und faßt schließlich die reellen und die 
imaginären Bestandteile zusammen, so ergibt sich eine Zahl A + Bi. 
Wiederholt mau den Vorgang mit der Substitution a — ßi, so ent 
steht das Resultat A — Bi. 
Ist nun cc -f- ßi eine Wurzel, also A Bi = 0, so ist notwendig 
A = 0, B = 0 (18); dann aber ist auch A — Bi = 0, also auch 
cc — ßi eine Wurzel. 
ln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten zieht also eine kom 
plexe Wurzel die konjugiert komplexe notwendig nach sich. 
Da hiernach komplexe Wurzeln stets paarweise Vorkommen, so 
hat eine Gleichung mit der fc-fachen Wurzel a + ßi auch u — ßi zur 
fc-fachen Wurzel. Weiter folgt daraus, daß eine Gleichung ungeraden 
Grades notwendig mindestens eine reelle Wurzel besitzt. 
Die von einem einfachen konjugiert komplexen Wurzelpaar her 
rührenden Wurzelfaktoren x — a — ßi, x — cc -j- ßi geben zum Produkt 
(x — a) 2 -(- ß 2 — x 2 — 2ccx + cc 2 -f- ß 2 , also ein im reellen Gebiete nicht 
zerlegbares quadratisches Trinom x 2 + px -f q\ zwei A’-fache konjugiert 
komplexe Wurzeln führen demnach zur Ä-ten Potenz eines solchen 
Trinoms. 
Alle Fälle zusammengefaßt, kann man somit sagen, daß eine 
ganze Funktion mit reellen Koeffizienten sich darstellen läßt als Pro 
dukt von Faktoren, die vier Typen aufweisen können: X X^, (ä/ xf^, 
x 2 px -f- q, {x 2 Apx + qf] abgesehen ist dabei von dem immer auf 
tretenden konstanten Faktor a 0 . Die Herstellung dieser Produktform 
und die Auflösung der Gleichung sind äquivalente Probleme. 
129. Zusammenhang zwischen den Wurzeln und den 
Koeffizienten. Wenn man die beiden Darstellungen einer und der 
selben ganzen Funktion f{x), das Polynom und das Produkt, einander 
gleich setzt, so entsteht die identische, d. h. für alle Werte von x 
gütige Gleichung 
a 0 x n + a 1 x n ~ 1 + ••• + «„ — »oO® — x i)i x ~ x z) ' ' * ( x — 
Entwickelt man das Produkt rechter Hand und ordnet es nach 
Potenzen von x, so ergibt sich auf Grund des letzten Satzes in 126 
die Übereinstimmung der beiderseitigen Koeffizienten, derzufolge also